Логаритъм log log P т.е. P P Основа на логаритъма. log 0 и log Логаритъмът е степента (), на която трябва да бъде повдигната основата (), за да се получи числото Р. Логаритми, използвани във физикохимията: log 0 P lg P - десетичен логаритъм (рядко се използва) log P l P - натурален логаритъм (най-често използван) (е Неперово число, е,78888459045...) Някои свойства на логаритмите: P log (P.Q) log P log Q log log P log Q Q log P.log P
Производна на функция Нека функцията f() опеделена в интервала (а,b), а точките и х о принадлежат на този интервал, при това х о. Числото Δ- o се нарича нарастване на аргумента в точката х о. Следователно числото: f f () f ( ) или f f ( ) f ( ) o се нарича нарастване на функцията f в точката х о. Границата на отношението f f ( ) f ( o) при Δ 0 се нарича производна на функцията f в точката х о. Означения на първите производни (за функцията f()): d ) означение на Лайбниц: d o Скоростта на равномерно праволинейно движение е равна на: S υ t Тогава функцията S S(t) дава изминатия път за време t 0. Следователно нарастването: S S(t t) S(t) показва изминатия път за време Δt от момента t до момента tδt, а отношението: S t показва средната скорост на движение в интервала [t,tδt]. Тогава границата: S υ υ(t) lm t 0 t се нарича скорост на движение в момент t. ) означение на Лагранж: ' f '() - означение, използвано в средния училищен курс. ТАБЛИЦА НА ПРОИЗВОДНИТЕ Функция Производна Функция Производна A A cost ' 0 > 0 ' u v w... ' u' v' w'... l 0 u u(), v v(), ' w w(),.. u.v ' u'.v v' u > 0 l u u'.v 0 v v A.u ' A ' 0 v v' u ' s ' cos cos s. π tg kπ cos cot g kπ s d d безкрайно малко изменение на функцията безкрайно малко изменение на променливата х 3
Частна производна Частна производна на функция на много променливи е производна по една от променливите, докато останалите променливи се приемат за параметри. Всяка функция на много променливи притежава толкова частни производни, колкото са променливите ѝ. За u u(, ) частните производни са: Производната на функцията u по променливата при постоянна променлива (параметър). Нека е дадена функцията u (, ) 3 3. Нейните частни производни са: 3 3 3 (3 )'. 3... 6 и 3 3.( )' 3.3 9 Производната на функцията u по променливата при постоянна променлива (параметър). Пълен диференциал Ако u е функция на две променливи, uf(,), то пълен диференциал на функцията u се нарича изразът: du d d Ако u е функция на три променливи, uf(,,z), то пълен диференциал на функцията u се нарича изразът: du d d dz z Ойлерови трансформации на пълните диференциали u f (, ) du d пълен диференциал d Ойлерова трансформация 4
Неопределен интеграл df() d Ако f (), то f ()d F() Всъщност f() F () първата производна на функцията. Чете се неопределен интеграл от f() Знак на интеграла. Интеграционна константа. Подинтегрална функция. Определен интеграл Нека f еднозначно определена функция в интервала b. Да предположим, че този интервал е разбит на N-подинтервала, а х е стойност на х в -тия интервал, който е с дължина Δх. f ( ) f ( )... f ( N) N N f ( ) Ако N и дължината на интервалите Δх 0 то горната сума представлява f ()d, b т.е. Горна граница на интеграла. b f ()d lm N N f ( ) Долна граница на интеграла. 5
6 ТАБЛИЦА НА ОСНОВНИТЕ ИНТЕГРАЛИ Неопределен интеграл Определен интеграл A d A Ad (Аcost) ) A( A. d A Ad d ( ) d l d l l l l d d d