Семинар 6 / Семинар 6: Лява и дясна граница. Непрекъснатост на числови функции. Изследване графиките на функции: Кривина, максимум, минимум и инфлексна точка Лява и дясна граница на функция Числото b се нарича дясна (лява) граница на функцията у = f() в точката х =, ако за всяка редица, х, х,..., хn,, с граница в точката, чиито членове са по-големи (по-малки) от, съответната редица от стойности на функцията, f(х), f(х),..., f(хn),, e сходяща с граница b. За дясна граница на функция се използват означенията: lim f ( ) b или f ( ) b За лява граница на функция се използват означенията: lim f ( ) b или f ( ) b Ако в точката лявата и дясната граници съществуват и съвпадат, то съществува и границата на функцията f() в тази точка. Непрекъснатост на числови функции Определение: f() се нарича непрекъсната в точката А ако тя е дефинирана в тази точка (съществува f(а)), съществува границата и при A е a и тази граница съвпада с f(a): lim f ( ) a f ( A ) A Особени точки Отстранима особена точка (особена точка от нулев род). Точката се нарича отстранима особена точка на функцията f(), ако границата на f() съществува в тази точка, но не е равна на f(). Тогава може да се предефинира (или додефинира) функцията, така че f() да е стойността на границата на функцията. lim f ( ) a f ( ) Особена точка от първи род. Точката се нарича особена точка от първи род на функцията f(), ако в тази точка лявата и дясната граници на функцията съществуват, но не са равни една на друга: lim f ( ) lim f ( ) В особена точка от първи род функцията f() търпи краен скок. Особена точка от втори род. Точката се нарича особена точка от втори род на функцията f(), ако в тази точка лявата и/или дясната граници на функцията са безкрайност или не съществуват.
Семинар 6 / Нека имаме функцията Критична точка. y. Критични точки ще наричаме онези точки, за които или y ( ), или първата производна на функцията в точката не съществува. Растяща / намаляваща функция. (а) При y ( ) - функцията расте в околност на точката. (b) При y ( ) - функцията намалява в околност на точката. Локални екстремуми. Инфлексна точка. (а) При y ( ) и y ( ), функцията у(х) има локален максимум в точката х. (b) При (с) При y ( ) и y ( ), функцията у(х) има локален минимум в точката х. y ( ), функцията у(х) има инфлексна точка в точката х. Ако функцията у(х) е дефинирана в интервала [a, b], глобалният максимум се дефинира като най-голямата стойност на функцията в този интервал; съответно, глобалният минимум е наймалката стойност на функцията в този интервал. Кривина на функция. (а) Когато (b) Когато y ( ) функцията ще наричаме вдлъбната в точката. y ( ) функцията ще наричаме изпъкнала в точката. Задача. Намерете лявата и дясната граници на функциите: a а) y e при a; б) y при ; Решение: a a e a) lim a a a a e lim a a
Семинар 6 / lim lim б) Задача. Определете вида на особените точки: а) = 4 за функцията в) = 5 за функцията y 4 5 y 5 ; б) = 4 за функцията y arctg 4 Решение: a) 4 lim 4 4 4 lim 4 4 лявата и дясната граници на функцията има особена точка от втори род при = 4. y 4 при = 4 са безкрайности функцията б) 4 lim arctg 4 4 4 4 lim arctg 4 4 4 Лявата и дясната граници съществуват, но не съвпадат функцията y arctg има особена точка от първи род в 4 точката = 4. 5 5 lim lim 5 5 5 5 в) 5 5 lim lim 5 5 5 5 Лявата и дясната граници съществуват и съвпадат, но не съвпадат със стойността на функцията 5 в тази точка функцията y има особена точка от нулев род в точката = 5, която е 5 отстранима, ако се предефинира функцията така че y( = 5) =.
Семинар 6 4 / Задача. Изследвайте функциите (посочете в кой интервал е дефинирана функцията; намерете локалните екстремуми; къде функцията расте и намалява; инфлексните точки на функцията; къде функцията е изпъкнала / вдлъбната): a) y г) y ж) y й) y e б) y 5 6 д) y з) y ch к) y в) y y e е) 5 и) y ln Решение: a) y y е дефинирана в интервала,. dy d d d функцията е растяща в целия интервал, в който е дефинирана и няма екстремуми. б) y 5 6 5 6 е дефинирана в интервала,. y 5 5 y при функцията намалява в интервала ; dy d 5 6 5 5 5 y при функцията расте в интервала ; d d 5 y 5 при функцията има критична точка в 5 За да определим дали в точката функцията има локален минимум или локален максимум трябва да проверим знака на втората производна на функцията в тази точка: dy d d5 в точката d d d d 5 функцията има локален минимум. е изпъкнала в целия дефиниционен интервал,.
Семинар 6 5 / в) y е дефинирана в интервала,. y dy d d d при ; ; y при и y dy d d 6 6 в точката d d d d максимум, а в точката y, при функцията е изпъкнала. y 6 при функцията е вдлъбната. y 6 - локален минимум. функцията расте в интервала ; ; и намалява в интервала ; функцията има критична точка в и функцията има локален г) y y е дефинирана в интервала,. y при функцията расте в интервала ; dy d. d d dy d d d d d d 4 4 y при функцията е вдлъбната в интервала ;.
Семинар 6 6 / д) y y е дефинирана в интервала [, +). d dy d y при d d d функцията расте в интервала ; няма критични точки. d d 4 d y при функцията е изпъкнала в целия дефиниционен интервал. y e e) 5 y 5 e е дефинирана в интервала (-, +). y при 4 dy d 5e e e 5e e 4e 4e y при 4 d d y при 4 расте в интервала 4;, функцията намалява в интервала ;4 критична точка при 4. d 4 e и има 4 e e 4e e e e y 4 e функцията има локален d d минимум в точката 4. при функцията е изпъкнала в интервала ; при функцията е вдлъбната в интервала ; e y
Семинар 6 7 / ж) y y е дефинирана в интервала [-, +]. dy d d d y при и функцията намалява в интервала ; ; y при ; функцията расте в интервала ; y при и d 4 4 d d 4 y. функцията y има локален максимум в точката y. функцията y има локален минимум в точката з) y ch y ch е дефинирана в интервала (-, +) e e d dy dcosh cosh sinh e критична точка. d d d
Семинар 6 8 / d cosh sinh y d sinh sinh cosh cosh d функцията y ch има локален минимум в точката и) y ln y ln дефинирана в интервала (-, +) при функцията расте. dy d ln при функцията намалява. d d при функцията има критична точка. d 4 y d d функцията y ln има локален минимум в точката й) y e y e дефинирана в интервала (-, ) dy d e e e e e d d при ; функцията расте. при ; ; функцията намалява. d при ; функцията има критични точки. d e e e e e d y e e y e e функцията y e има локален минимум в точката и локален максимум в точката.
Семинар 6 9 / к) y y е дефинирана в интервала (-, ) и (, +). d dy d d при функцията расте. при и ; функцията намалява. при функцията има критична точка. dy d d d d 4 6 8 6 8 d d d d d d 4 8 4 8 9 4 4 5 4 4 6 8 9 4 6 7 6 5 4 4 5 4 4 6 8 6 4 5 9 4 44 y функцията y има локален минимум в точката
Семинар 6 / Задачи за домашно: Задача. Пресметнете лявата и дясната граница на функциите: а) f при f при 4 e г) f при 4 б) д) f при 56 в) e) f f ln 4 4 при при Задача. Определете вида на особените точки при: а) = за функцията y ; б) = и = 5 за функцията е tg arctg в) = ; = 5; = ; = /+n за функцията y 5 y 5 Задача. Определете точките на прекъсване на функциите и вида на особените точки: 6 6 а) y ; б) y Задача 4. Изследвайте функциите: а) y б) y в) y e г) y ln 4 5 е) y ж) y e 6 з) y e д) y и) y Задача 5. Намерете производните на функциите: а) y ln 4 г) y e e e e e sin cos sin cos д) y e б) y arcsin e arcsin e е) y ln 9 4 y arctg в) ж) y e sin e cos e