Семинар 9 / 6 Семинар 9: Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: = X ( ) Y ( ) = X + C Y d Ако е зададено гранично условие, у(х0) = у0 = Y ( ) 0 0 X ( ) Задача. Решете уравненията ' а) 0; () 0 + = = ( ) ( ) ' + cos + = cos ; 0 =π + = 0; = ( ) ( + ) () = = = = + 0 a) = d = + = = + 0 0 0 0 0 + = + + = + ' + cos + = cos ; 0 =π = cos( ) cos( + ) = cos cos + sin sin cos cos + sin sin = sin sin sin ln tg cos = = sin π 0 π 0 ln tg = cos + tg = cos+ Фармация, I курс 5,6,7,8 групи 08/09 Януари 09 г.
Семинар 9 / 6 ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = = = + = + ln = + + ln Задачи за домашно: + ) ' = + ; 0 = 0 ) ' = sh( + ) + sh( ) ) ( 6 ) ( ) + + + = 0; 0 = Линейно уравнение + f ( ) = g( ) където f() и g() са известни функции. Решението се дава от формулата: F F ( C + g( ) ), F = f ( ) Задача. Решете уравненията: а) ' = cos + ' + = arctg ' = ln ; = ln a) ' = cos f ( ) = ; g( ) = cos F = = ln cos C C C ln ln = ( + cos ) = + = ( + sin ) Фармация, I курс 5,6,7,8 групи 08/09 Януари 09 г.
Семинар 9 / 6 arctg arctg ' + = ; f ( ) = ; g( ) = + + + + F = = arctg ; t = arctg ( + ) arctg arctg = + = ( + ) = ( + ) = + arctg t t t t t C C t dt C t dt t t t arctg = C+ t = C + arctg ' = ln ; f ( ) = ; g( ) = ln ln ln F = = ln ln ln ln( ln ) ln( ln ) ( ) = C+ ln = ln C+ = ln C+ ( ) = ln C+ = C = 0 ( ) = ln Задачи за домашно: ) ' + = ) sin ' cos = ; π = 0 ) ' + = arcsin ; 0 = 0 Уравнение с пълен диференциал h (, ) + g(, ) = 0 или h (, ) + g(, ) = 0 проверка: h g = т.е. F F = F F d F h(, ) + g(, ) = 0 F(, ) = C, където F(, ) = + F (, ) = g(, ) + A( ) = C или F(, ) = h(, ) + A( ) = C da Определяме: A ( ) : g(, ) + = h(, ) ; da A ( ) : h(, ) + = g(, ) Фармация, I курс 5,6,7,8 групи 08/09 Януари 09 г.
Семинар 9 / 6 Задача. Решете уравненията: + sin + + cos = 0 а) + ln + + + = 0 ( ) ( ) + + + + + = 0; 0 = 0 g + sin + + cos = 0; g, = + sin ; = + cos ; а) h h(, ) = + cos ; = + cos ; (, ) = ( + sin ) + = + sin + F A A F da da = + cos + = + cos = 0 A= const F, = + sin = C h + ln + + + = 0; h, = + + ; = + g g F A (, ) = + ln ; = + ; (, ) = ( + ln ) + ln F da F(, ) = + + A( ) ; = + + = + + ln A( ) = + C; F(, ) = + + = C Фармация, I курс 5,6,7,8 групи 08/09 Януари 09 г.
Семинар 9 5 / 6 g + + + + + = 0; g, = + + ; = + h h F A (, ) = ( + + ); = + ; (, ) = ( + + ) + F da F(, ) = + + + A( ) ; = + + = + + A( ) = + C F( ) = + + + = C ;, ; F = = C F( ) = + + + = 0,0 ;, ; Задачи за домашно: + sin + 0.5 + cos = 0 а) + ln + + = 0; 0 = ( ) + + = = ( ln 5 sin 5 ) cos 5 0; ( 0) Хомогенни линейни уравнения от втори ред с постоянни коефициенти (ХЛОДУ) + a + b = 0 има решение: k k a ( A + B ) ( ) = ( Acosω + Bsinω ) a ( A + B) Нека ХЛОДУ е зададено във вида: a + b + c = 0 a при при при b = a k a b > 0 ω b a > 0 Нека ХЛОДУ има решение ( ) = k ( ) = k k ( ) = k k Задаваме характеристичен полином (ХП): ak + bk + c = 0, получен от заместване на k k k k решението в ОДУ: ak + bk + c = ( ak + bk + c) = 0 Δ = b Δ = b Δ = b ac > 0 b + Δ = ( ) = A + B a b k k k = k = ( ) = A + B = ( A + B) a b Δ = ± i = α ± iβ ( ) = ( Acosβ + Bsin β) a a k k, ac = 0 ac < 0 k k k,, α Фармация, I курс 5,6,7,8 групи 08/09 Януари 09 г.
Семинар 9 6 / 6 Задача. Решете уравненията: а) " ' = 0 " 0 ' + 5 = 0; 0 = 0; ' 0 = " + 9 = 0; 0 = 0; π = а) 9 " ' 0; ; ; ; = a= b= k = + = = ( + ) A B + = a= b= k = = " 0 ' 5 0; 5; 5; 5 5 0 5 = ( + ) A B ' = 5 A+ B + A 5 5 ( 0) 0; '( 0) ; = B = = A= = 5 " 9 0; 0; 9; 9; 9 + = a= b= k = ω = = Acos+ Bsin 0 = A= 0 π π = Bsin = B = = sin Фармация, I курс 5,6,7,8 групи 08/09 Януари 09 г.