Лекция 5 5 Диференциални уравнения от първи ред Основни определения Диференциално уравнение се нарича уравнение в което участват известен брой производни на търсената функция В общия случай ( n) диференциалното уравнение има вида F( K ) = където F е непрекъсната функция Най-високата производна в записа се нарича ред на уравнението например уравнението sin + cos = е от трети ред Променливата се нарича независима променлива а чрез е означена функцията която търсим в качеството на решение на въпросното уравнение Една непрекъсната функция се нарича решение на диференциалното уравнение в интервала когато има непрекъснати производни до реда на уравнението и след заместване го удовлетворява тъждествено в интервала Ние ще разглеждаме основно уравнения разрешени относно старшата ( n) ( n ) производна които имат вида = f ( K ) където f е непрекъсната функция Под общо решение на дадено диференциално уравнение се разбира съвкупността от всичките негови решения Намирането на общото решение на дадено диференциално уравнение е специфична и трудна задача а в повечето случаи общото решение не може да се запише като краен израз от елементарни функции дори когато самото уравнение изглежда достатъчно просто Едно такова уравнение например е уравнението = Намирането на неопределен интеграл от функцията случай на решаване на диференциално уравнение от първи ред = f общо решение е f + C Уравнението от n -ти ред f f формално е частен Неговото = в който запис присъства една произволна константа n = се решава чрез последователни интегрирания Например да решим уравнението = cos След едно интегриране получаваме = sin + C а след второто = cos + C + C Тук се получиха две произволни константи колкото е редът на уравнението В общия случай ситуацията е аналогична Общото решение на едно диференциално уравнение от ред n зависи от толкова наброй произволни константи и има вида Φ( ; C C K C ) При фиксирани допустими n = стойности за тези константи формулата за общо решение задава връзка между променливите и която в типичния случай представлява (една или повече) крива в декартовата равнина R Тези криви се наричат интегрални криви на уравнението ( n) ( n ) За уравнението = f ( K ) ще разглеждаме още и начална задача която се получава ако към това уравнение прибавим определен брой начални условия които представляват стойностите на търсената функция и нейните производни до ред n в дадена начална точка В тази лекция основно ще разглеждаме уравнения от първи ред решени относно производната които се записват = f ( ) където f ( ) е непрекъсната функция Общото решение тук има вида Φ( ; C) = Съвкупността на интегралните криви се определя от един параметър произволната константа C а решаването на началната = означава да се избере онази интегрална крива задача с начално условие която минава през точката на началните данни ( ) За тези уравнения променливите и са фактически равнопоставени по смисъла на самото уравнение независимо от факта че първоначално се схваща като независима променлива а като функция на Тази равнопоставеност добре се забелязва от вида на общото
решение както и от геометричното тълкуване на решенията като интегрални криви Ако запишем производната като отношение на двата диференциала = то уравнението = f ( ) приема вида = f ( ) или = = g( ) f ( ) което още веднъж показва еднаквото значение на променливите и Последното обосновава равенството (5) P ( ) + Q( ) = като най-обща форма на записване на едно диференциално уравнение от първи ред решено относно производната Уравнението (5) можем да презапишем P( ) Q( ) = = или = = Q( ) P( ) където означава производната на като функция на Уравнения с разделящи се променливи Такива са уравненията от вида = f g където f и g са непрекъснати функции Уравнението (5) записваме във вида = f g което позволява да разделим променливите = f g Като интегрираме последното за общото решение получаваме формулата = f + C g където C е произволна константа Тук и навсякъде по-нататък в процедура за решаване на диференциални уравнения под неопределен интеграл ще разбираме само една примитивна която се избира с оглед на конкретно удобство Това се прави по целесъобразност да не се смесват по произволен начин константите идващи от неопределения интеграл и за да имат ясен смисъл изразите в които участват интегралните знаци Например да решим уравнението (5) = 4 Следвайки процедурата за решаване на уравнения с разделящи се променливи намираме = 4 = откъдето след интегриране получаваме = + C Като пресметнем интегралите получаваме че общото решение на (5) е = + C Този подход крие известен риск да пропуснем някои частни решения което няма да обсъждаме
По аналогия с формулата (5) най-общата форма на запис за уравнения с разделящи се променливи е P + Q = в която всъщност променливите са разделени още в записа на уравнението Нека едно уравнение може да се преобразува във вида (5) = f Тогава след полагане = u u = u (5) се свежда към уравнение с разделящи се променливи Имаме = u + u След заместване получаваме u u u + u = f ( u) + u = f ( u) = f ( u) u откъдето за общото решение на (5) намираме формулата u = + C f ( u) u в която след решаване на интегралите трябва да се върнем към първоначалните променливи и Например да решим уравнението (54) = ( ln ln ) Това уравнение се преобразува до хомогенно = ln Полагаме = u u = u при което = u + u Заместваме и намираме u u + u = u ln u = u( ln u ) следователно общото решение има вида u = + C u ln u За неопределените интеграли имаме u = ln lnu и u( lnu ) = ln откъдето за общото решение получаваме ln ln u = ln + C В последния израз можем да положим C = ln C C > и да преобразуваме до вида ln u = C C > Сега ще се освободим от модулите позволявайки константата C да приема всякакви стойности Окончателно за общото решение намираме формулата ln u = C u = e C+ което в първоначалните променливи е C+ = e където C е произволна константа Линейни уравнения Диференциалното уравнение от първи ред се нарича линейно когато има вида + a = b (55)
където коефициентите a и интервал Да положим = z z e a a ze a + a z = e a b a z = e b + C b се предполагат непрекъснати функции в отворения a e и да заместим в (55) Получаваме ze a = b следователно всичките решения на (55) се дават по формулата (56) a a = e + e b C Например да решим уравнението (57) cos + sin = Уравнението е линейно понеже се преобразува като sin + = cos cos Съгласно формулата (56) неговото общо решение е sin sin cos cos (58) = e e + C cos Пресмятаме sin sin cos ln cos = ln cos e = e = cos cos и заместваме в (58) като разглеждаме два случая ) cos > Тогава имаме = cos + C = cos [ tg + C] = sin + C cos cos ) cos < Тогава имаме = cos + C = cos [ tg + C] = sin C cos cos Понеже C е произволна константа горните два случая могат да бъдат обединени с единствената формула = sin + C cos което е общото решение на (57) Изобщо когато целият първи множител във формулата (56) се получи в модул при следващите преобразувания модулът се пренебрегва Уравнението на Бернули (59) + a = b m m m m се свежда до линейно след полагането z = z + ( m) a z = ( m) b 4 Точни диференциални уравнения В този раздел ще разглеждаме уравнения от първи ред записани в общата форма (5) Диференциалното уравнение (5) P ( ) + Q( ) = се нарича точно когато диференциалната форма P + Q се явява пълен диференциал на някоя функция U ( ) По тази причина точните уравнения се наричат P и още уравнения произхождащи от пълен диференциал Тук функциите 4
( ) Q се предполагат гладки (имат непрекъснати частни производни) в областта D R Съгласно определението за пълен диференциал уравнението (5) е точно ако за някоя гладка в D функция U ( ) е изпълнено = P( ) (5) = Q при всяко ( ) D Ако уравнението (5) е точно то имаме U = P ( ) U = Q ( ) и Сега от равенството на смесените производни следва че по необходимост е налице условието (5) Q ( ) P ( ) което се нарича условие за точност Ако уравнението (5) е точно и е породено от пълния диференциал на U ( ) то може да се запише във вида U ( ) = а неговото общо решение се дава по формулата (5) U ( ) = C където C е произволна константа Например да разгледаме уравнението ( + ) + ( + ) = Това уравнение е точно понеже е породено от пълния диференциал на функцията U = + + следователно неговото общо решение е + + = C Решаването на дадено точно уравнение означава да се намери функцията U ( ) която го поражда Това може да стане например по следната схема Разглеждаме първото от равенствата (5) и го интегрираме по Получаваме U = P + ϕ (54) Тук ϕ е константата на интегрирането която може да зависи от другата променлива Диференцираме (54) по и получаваме U = ( P( ) ) + ϕ откъдето съгласно второто равенство в (5) намираме (55) ϕ ( ) = Q( ) ( P( ) ) От последното след преобразуване и евентуално опростяване на изразите чрез интегриране определяме функцията ϕ За да бъде възможно извършването на всичките действия е необходимо дясната страна на (55) да не зависи от Това условие е налице понеже производната на израза по е тъждествено нула Q ( ) P( ) ( ) = Q ( P( ) ) ( P( ) ) = Q P( ) = Q съгласно условието за точност (5) Например да решим по тази схема уравнението (56) ( ) + ( + ) = Тук P = и Q = + Имаме Q P следователно уравнението (56) е U за която е изпълнено точно Сега търсим функция = 5
= + = Интегрираме първото равенство по и получаваме U = + ϕ = + ϕ (57) U = + ϕ След диференциране по като отчетем второто равенство намираме = + ϕ откъдето пресмятаме ϕ = = Сега като заместим в (57) получаваме U = + следователно общото решение на (56) се получава по формулата + = C където C е произволна константа Изложената схема за определяне на U ( ) може да стартира и от второто равенство (5) като в този случай отначало ще интегрираме по а след това за да използваме информацията от първото равенство ще диференцираме по Условието за точност (5) Q ( ) P ( ) е същевременно и условие за независимост на криволинейния интеграл от втори род от пътя По тази причина ако областта D където са определени функциите P ( ) и Q ( ) е едносвързана то U може да се определи по формулата функцията (58) U ( ) = P + Q ( a b) където ( b) взема по някоя (коя да е) частично гладка крива която свързва точките ( a b) и a е една фиксиране точка от областта D а криволинейният интеграл се В този случай обикновено се избира начупена линия а в случая на изпъкнали области може да се вземе отсечката която свързва двете точки Например за уравнението (56) избираме ( a b) = ( ) а кривата на интегриране е отсечката J свързваща началото с точката ( ) която има следното параметрично представяне t J : t t Тогава по формулата за пресмятане на криволинеен интеграл от втори род за (58) намираме ( ) = ( t + t) t + ( t t ) U t t t ( ) = ( + ) tt + tt U U ( ) ( + ) + = + = 6
При началната задача за уравнението (5) търсим интегрална крива която минава през точката ( ) Ако уравнението е точно то решението се получава по формулата U ( ) = U ( ) където U ( ) е зададена чрез (58) което в частност оправдава записа на общото решение във вида (5) Като изберем ( a b) = ( ) за решението на началната задача получаваме (59) ( ) ( ) U = P + Q = ( ) Ако P ( ) или Q ( ) множеството дефинирано от (59) представлява гладка крива през точката то според теоремата за неявните функции която крива е търсеното решение на началната задача Ако P ( ) = Q( ) = то въпросното множество може да не представлява крива Например да разгледаме началната задача за търсене на интегрална крива за уравнението + = По формулата (59) за решение се през точката + = което представлява единствената точка ( ) получава множеството Уравненията с разделящи се променливи P + Q = (5) са частен случай на точни уравнения понеже тук Q P разсъждения следва че решението на началната задача за (5) има вида Q = P + ако е налице условието P ( ) или ( ) Q От направените 7