Лекция 4: Интегрално преобразувание на Лаплас 4.. Дефиниция и образи на елементарните функции. Интегралното преобразувание на Лаплас Laplac ranorm се дефинира посредством израза: Λ[ ] преобразувание на Лаплас 4. Функцията се нарича оригинал, а функцията лапласов образ. Съществуването на преобразуванието на Лаплас се свежда до съществуване на интеграла в ур. 4.. Най-напред, да намерим преобразуванието на Лаплас за показателна функция: Λ[ k ] k k k k k > k 4. Като заменим k с k, от ур. 4. получаваме: k Λ[ ] 4.3 + k Тогава, за преобразуванията на хиперболичните функции намираме: Λ[chk] Λ[ k + k ] + k + k k k k Λ[hk] Λ[ ] k + k k От ур. 4.4 и 4.5 намираме преобразуванията на тригонометричните функции: k 4.4 4.5 Λ [co k] Λ[chik] 4.6 ik + k ik k Λ [in k] Λ[hik] 4.7 i i ik + k За степенна функция с цял показател намираме: n n n! [ ] n Λ + > ; n,,,... 4.8 В частност, при n и n имаме: Λ [], Λ[ ] 4.9 Oбратното преобразувание на Лаплас се изразява чрез интеграл в комплексната равнина, и неговото пресмятане излиза извън рамките на този курс. Таблици за правото и обратното преобразувание на Лаплас за случаите когато те съществуват в термини на известните елементарни и специални функции, могат да се намерят в многобройни математически справочници напр. в този на Г. Корн и Т. Корн, както и в интернет. 3
Разработени са компютърни алгоритми за числено извършване на обратното преобразувание на Лаплас. Това гарантира, че ако е известен лапласовият образ на дадена функция,, то оригиналът,, винаги може да се намери стига да съществува, било в аналитична или в числена форма. 4. Свойства на преобразуванието на Лаплас a Отместване на аргумента. Предвид ур. 4. имаме: а а [ а ] Λ[ а ] 4. Пример: Знаем, че Λ k [ ] in k + k ; тогава Λ k [ ] е a in а k k +. б Теорема за закъснението. От ур. 4. получаваме: b + b τ b τ bτ b > 4. Където извършихме смяна на инеграционната променлива: τ + b. Додефинираме функцията така, че при <. Toгава ур. 4. може да се представи във вида: b τ τ bτ 4. С други думи, получихме: Λ [ b b ] при > b при < b в Диференциране на образа. Диференцирането на ур. 4. дава: 4.3 Λ[ ] 4.4 Съвсем аналогично, за n-тата производна намираме: n n n n n n Λ[ ] Λ Λ [ ] n 4.5 Пример: Търсим оригинала на израза: С помощта на ур. 4. и 4.5 намираме: k k k Λ Λ k k г Лапласов образ на производна. С помощта на ур. 4. получаваме: 4.6 4
Λ [ ] + 4.7 където използвахме интегриране по части. Аналогично се доказва, че [ ] Λ 4.8 3 [ ] Λ 4.9 Λ n n n n n [ ]... 4. Последните формули намират голямо приложение за решаване на линейни ОДУ с постоянни коефициенти. 4.3. Решаване на линейни ОДУ с постоянни коефициенти с помощта на преобразуванието на Лаплас. Ще демонстрираме метода като разгледаме конкретен пример. Да се намери решението,, на уравнението: +, 4. при гранични условия: 4. Прилагаме лапласовото преобразувание към двете старни на ур. 4., като използваме ур. 4., 4.7 и 4.9: 3 + 4.3 Като приложим граничните условия, ур. 4., за намираме: 4.4 3 + + За да можем да извършим обратното преобразувание на Лаплас, представяме дясната страна на ур. 4.4 като сума от прости дроби: + А B C + D + + + 4.5 В дясната страна на ур. 4.5 привеждаме към общ знаменател и приравняваме числителите в двете страни на уравнението: А + + B + + C + D 4.6 После, в дясната страна на ур. 4.6 разкриваме скобите и групираме членовете пред еднаквите степени на : 3 А + B + C + A + D C + A + B D A 4.7 5
Коефициентите пред еднаквите степени на в двете страни на ур. 4.7 трябва да бъдат равни: пред A 4.8 пред A + B D 4.9 пред A + D C 4.3 3 пред A + B + C 4.3 Получихме линейна система от четири уравнения с четири неизвестни, чието решение има вида: A /; B /; C /5 и D /5. Toгава, предвид ур. 4.4 и 4.5, имаме: + + 4.3 5 + 5 + Накрая, с помощта на ур. 4., 4.6 и 4.9 извършваме обратната лапласова трансформация: + е + co in 4.33 5 5 По този начин намерихме решението на ур. 4., което удовлетворява граничното условие 4.. 4.4. Конволюция при преобразуванието на Лаплас. Да разгледаме функциите: Λ[ ] и Λ[ ] 4.34 Предвид ур. 4., имаме: x y xx yy 4.35 Интеграционната област в ур. 4.35 е първи квадрант от координатната равнина ху: x,, y,. Тази интеграционна област може да се получи като граничен случай на равнобедрения триъгълник с катет а на Фиг. 4.3а, при а. Затова, ур. 4.35 можем да запишем във вида: lim a lim a a x x a xx ax y ax x+ y y yy x y 4.36 По-нататък, заменяме променливите х,у с нови интеграционни променливи,: x y 4.37 6
7 Фиг. 4.. а Интеграционната област в ур. 4.36. b Интеграционната област в ур. 4.39. Номерата, и 3 на страните показват коя от тях в коя се трансформира при смяната на интеграционните променливи. Изразяваме площния елемент чрез якобиана на координатната трансформация: y x y x y x 4.38 якобиан се нарича детерминантата в ур. 4.38. Tази координатна трансформация преобразува интеграционната област в друг равнобедрен правоъгълен триъгълник, който е показан на Фиг. 4.3b. B термини на новите интеграционни променливи, ур. 4.36 добива вида: lim a a 4.39 И така, получихме: Λ 4.4 Величината в средните скоби се нарича конволюция на функциите и за преобразуванието на Лаплас. Ур. 4.4 изразява съдържанието на теоремата за конволюцията при преобразуванието на Лаплас, която е аналогична на тази при преобразуванието на Φурие; виж ур. 3.55. Забележете, че има известна разлика при
8 дефиницията на конволюция за преобразуванията на Лаплас и Фурие. С помощта на ур. 4.4 ще докажем, че конволюцията е симетрична по отношение размяна на местата на двете функции: [ ] [ ] Λ Λ 4.4 4.5. Приложение на теоремата за конволюцията за решаване на интегралното уравнение на Волтера Vio Volrra, 86 94, италиански математик. Интегралното уравнение на Волтера от първи род има вида:, K τ τ ϕ τ 4.4 Tук, ядрото K,τ и свободният член,, се смятат за известни функции, докато ϕτ е неизвестна функция. В частния случай, когато K,τ Kτ, лявата страна на ур. 4.4 има формата на конволюция: K τ τ ϕ τ 4.43 Предвид ур. 4.39, като приложим преобазувание на Лаплас към двете страни на ур. 4.43, получаваме: ~ ~ ~ ~ ~ ~ K K ϕ ϕ 4.44 Накрая, с помощта на обратното преобразувание на Лаплас получаваме решението на задачата в аналитична форма: Λ ~ ~ K ϕ 4.45
9
3
4
5
6