Семинар 4 / 7 Семинар 4: Производна на неявна функция. Развитие на функция в ред на Тейлър. Правило на Лопитал. Развитие на функция в ред на Тейлър Дефиниция: Нека функцията f() да е дефинирана в някаква околност на точката х, и да има в тази точка производни от всички порядъци. Тогава, редът f ( ) S f f f f ( n) n () ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )... n n!!! се нарича ред на Тейлър (по името на английския математик Brook Talor, 685 7). Теорема: Ако редът на Тейлър, S(), за функцията f() е сходящ в някаква околност, х h < < х + h, на точката х, то във въпросната околност този ред е идентичен с функцията f(), т.е. Правило на Лопитал f ( ) n f ( ) S( ) ( ) за n! n ( n) h Нека функциите f() и g() са диференцируеми в някаква околност на точката х и за тях е в сила и g f. Тогава, ако производната дадената околност на точката, то е в сила съотношението: Задача. Намерете производнaта d df () f f dg () g g за неявните функции: dg б) ln e sin sin e е различна от нула в d d d d d d d
Семинар 4 / 7 d ln ln б) e e d d e e d e e e sin sin sin cos d d sin cos d sin cos sin cos d d d e e d d e e e Задача. Намерете производнaта d, ако: a cos ; a sin б) e sin ; e cos a) asin ; d a cos d co d d б) d d e cos sin e e e e e d d e cos sin sin cos ; cos sin Задача. Намерете производните на сложните функции: log б) logcos sin ln ln e е) g ln ln d log ln ln ln sin log sin ln cos б) cos sin
Семинар 4 / 7 cos ln cos sin ln sin d sin cos co ln sin g ln cos ln cos ln cos d d ln ln ln ln ln ln ln ln d d ln ln ln ln ln ln ln d d d e e e ln ln e e ln d ln e e d ln ln ln ln ln ln e e e d d g dln sin sin ln g ln sin ln sin g g е) d ln sin ln sin g cos cos sin cos d ln sin sin cos g Задача 4. Развийте в ред на Тeйлър функцията f ( ) e около точката. f e f e f e f e () () f e f e... ( n) ( n) f e f f f f f f...!!! n e...!!! n! n
Семинар 4 4 / 7 Задача 5. Развийте в ред на Тeйлър функцията f( ) около точката. f f f ln f ln ln () () f ln f ln ln... ( n) n ( n) n n f ln f ln ln f f f f!! () ()... ln ln ln...!!! За да установим дали горната формула е в сила за всяко трябва да проверим дали редът е сходящ. За целта можем да използваме критерия на Даламбер: n n ln n ln ; n un u n! n! n n n n n u n! ln n! ln ln n ln n n n n n n u! ln n! ln n n n n n n редът е сходящ. Задача 6. Развийте в ред на Тeйлър функцията f ( ) sin около точката. f sin f () () () () (4) (4) f cos f f sin f f cos f f sin f
Семинар 4 5 / 7 f f f f f...!!! ( ) sin... 6 n! 5 n 4 n Задача 7. Развийте в ред на Тeйлър функцията f ( ) sin около точката I начин: n f sin f () () () () (4) (4) f cos f f 4sin f f 8cos f 8 f 6sin f f f f f f...!!! 8 ( ) sin... 6 n! II начин: 5 n n 4 n n. От предната задача знаем, че развитието на функцията f ( ) sin около точката e: ( ) sin... 6 n! 5 n 4 n В случая, обаче, аргументът на функцията, която искаме да развием е, а не в n развитието, което вече сме получили заместваме с : 5 n 8 ( ) 5 4 sin... 6... 6! n n n с което получихме развитието на функцията, изведено и по първия начин.
Семинар 4 6 / 7 Задача 8. Използвайки правилото на Лопитал, пресметнете границите: sin cos б) 4 8 e sin 4sin cos б) dsin sin cos d cos dsin cos sin cos d d 4 8 4 4 8 4 6 e sin e cos e sin 6 4sin cos 4sincos 4 sin cos 4 Задачи за домашно: Задача. Пресметнете производните на сложните функции: log cos б) sin ln logcos g е) cos Задача. Намерете производнaта d 8 б) sin cos 5 е) за неявните функции: ж) cos sin ln ln
Семинар 4 7 / 7 Задача. Намерете производнaта d, ако: sin a б) 5 7 g log 5 arcsin 5 Задача 4. Развийте в ред на Тeйлър, около точката a) f ( ) cos б) f, следните функции: f 5 f ( ) cos f cos e) f ( ) sin ж) f ( ) e Задача 5*. Развийте в ред на Тeйлър, около точката a, следната функция: f ( ). Пресметнете стойността на, използвайки полученото развитие, като използвате членовете до втора степен включително. Направете пресмятането за две различни стойности на a (точката, около която развивате). a и a 9 Задача 6. Използвайки правилото на Лопитал, пресметнете границите: 85 8 cos sin 5 б) 45 9 arcan