Семинар 8 1 / 7 Семинар 8: Комплексни числа. Вектори в тримерното пространство Комплексно число, с: c z (, ) + + j а Re[c] реална част; Im[c] имагинерна част; j 1 r c + - модул на комплексното число (к. ч.). tg ϕ, ϕ rgc - аргумент на комплексното число (к. ч.). c r cos ϕ+ sn ϕ ( ) c r( cos ϕ+ sn ϕ ); r c + ; cos ϕ ; sn ϕ + + Уравнение на Oйлер: е ϕ cos ϕ+ sn ϕ c re ϕ Намиране на аргумента на едно к.ч.: 1. Чрез пресмятане на cos(ϕ) и sn(ϕ) и използване на единична окръжност.
Семинар 8 / 7. Чрез пресмятане на ϕ rctn(, ), дефиниран в границите (-, ]. rctn rctn(, ) rctn + + rctn > rctn + <, rctn <, < rg( c) ϕ rctn rctn(, ), >, < неопределен, Действия между комплексни числа: c1 ( 1, 1) 1+ 1 ; c (, ) + ± ( + ) ± ( + ) ; c cc ( ) + ( + ) c c c 1 1 1 1 1 1 1 1
Семинар 8 / 7 Комплексно спрегнати числа: c + и c са комплексно спрегнати Имат един и същ модул: c c ( + )( ) ( ) + r e ϕ cos ϕ snϕ cos( ϕ ) + sn( ϕ ) e c + ( ) + c r ϕ cosϕ + snϕ e cosϕ snϕ e ϕ ϕ c ( + ) ( + )( + ) + + c ( ) ( )( + ) + + + ϕ c re ϕ tgϕ e cos ϕ + sn ϕ ; tgϕ c ϕ re 1 tg ϕ Формула на Моавър ϕ n ( ) ( cos sn ) n n c re r n n ϕ+ ϕ Намиране на корен n-ти n n ϕ+ k ϕ+ k c rcos + sn ; k,1,..., n 1 n n cc 1 Задача 1. Намерете, ако c1 + 5 ; c + ; c 1+ c ( )( ) cc + 5 + 1 6 + 9+ 1 15 9 + 191 9 + 18+ 19+ 8 9 7 + c 1+ 1+ 1+ 1 5 5 5 Задача. Представете в тригонометрична форма комплексните числа cc 1 c1 1 + ; c + ; c 1+ и след това намерете, като използвате формулата c на Ойлер Решение c + c + c 1 1 1 1 1 + +
Семинар 8 / 7 c1 1 + ; 1 1, 1 1 ; r1 1 + 1 ; tgϕ 1 1 ϕ 1 c1 cos + sn e c + ;, 1 ; r + 1 ; tgϕ 1 ϕ 6 c cos + sn e 6 6 6 c 1+ ; 1, ; r 1 + ; tgϕ ϕ c cos + sn e 6 1 1 c cc e e e ( e ) ( e ) ( e ) [6( 1)] ( 6) e 1 11 61 11 6 11 11 11 Задача. Намерете всички корени на уравнението 5 ω + 5 ω c c ;, ; r ( ) ; tgϕ ϕ 5 ω cos + sn e + k k 15 5 ω ( ) cos + sn + 5 5 k : ω cos + sn ; k 1: ω1 cos + sn 1 1 1 1 7 7 11 11 k : ω cos + sn ; k : ω cos + sn 1 1 1 1 15 15 k : ω cos + sn 1 1
Семинар 8 5 / 7 Задача. Намерете всички корени на уравнението ( ) ω 1+ ( ) ( ) ( ) ω c 1+, ; r + 8 ; tgϕ 1 ϕ k + k + k + 1 1 ω 8cos + sn ω c 8cos + sn 8 e, k,1,; 1 k : ω cos + sn e 1 1 k 1: 9 9 ω1 cos + sn e 1 1 k : 17 17 ω cos + sn e 1 1 9 1 17 1 Задача 5. Като използвате формулата на Моавър намерете стойността на израза: + 1 + 1 1 z ; r 1; tg + ϕ ϕ 6 1 1 + + 1 1 cos + sn ; cos + sn cos + sn 1 6 6 6 6 6 6 Задачи за домашно Намерете стойностите на изразите: ) ( + ) ; б) ( 1 )( ) ( )( 5) ( 1+ ) ( + ) в) ( 1 )( + ) Намерете всички корени на уравненията: ) 5 ω 8 + ; б) ω в) ω
Семинар 8 6 / 7 Вектори в тримерното пространство а g + g + g ; 1g + g + g 1 1 1 Скаларно произведение на два вектора:. cos ϕ 1 1+ + ϕ Векторно произведение на два вектора: g g g g + g + g 1 1 11 + 1 + 1 1 + 1 1( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 g ( ) g ( ) + g ( ) 1 1 1 1 1 g ( ) + g ( ) + g ( ) 1 1 1 1 1 S snϕ Смесено произведение на три вектора: 1 V ( c,, ) ( ) c ( c c ) + ( c c ) + ( c c ) c c c 1 1 1 1 1 1 1 Задача 6. Намерете скаларното произведение на векторите: g + g + 7 g ; g 5g + g 1 1 5 + 7 вектори, чиито скаларно произведение е, се наричат перпендикулярни, ортогонални или нормални един на друг. Задача 7. Намерете ъгъла, който сключват векторите: g + g + g ; 6g + g g 1 1 1 6+ 8 cosϕ ϕ rccos 7. 1 + + 6 + + 8 7 7 Задача 8. Намерете векторното произведение на векторите: g + g + 5 g ; g + g + g 1 1 g g g 1 5 1 1 [()(1) (5)()] g + [(5)(1) ()(1)] g + [()() ()(1)] g ( ) ( ) ( ) 1 1 g + 5 g + g 7g + g + g ( 7,,1) 1 1
Семинар 8 7 / 7 Задача 9. Намерете лицето на успоредника, заключен между векторите: 6g + g g ; g g + 6g 1 1 g1 g g [()(6) ( )( )] g1+ [( )() (6)(6)] g + [(6)( ) ()()] g 6 ( 18 ) g1 + ( 6 6) g + ( 1 9) g g1 g 1 g (,, 1) 6 S + + 1 1 9 кв. ед. Задача 1. Намерете обема на триъгълна пирамида с върхове А (,,); B (,,); C (,5,); D (5,5,6). 1 1 V ABCD ( c,, ) ( ) c 6 6 AB OB OA g1+ g + g g1 g g g1+ g + g AC OC OA g + 5g + g g g g g + g + g 1 1 1 c AD OD OA 5g1+ 5g + 6g g1 g g g1+ g + g VABCD 1 1 1 1 1 1 7 ( c,, ) ( ) c ( 1 6 )() + ( 6 8 )(1) + ( 6 9 )(1) куб. ед. 6 6 6 6 6 Задачи за домашно 1. Намерете скаларното произведение на векторите и определете ъгъла между тях ) g + g + 5 g ; g + 5g g ; 1 1 б) g + g + g ; 6g + g + g. 1 1. Намерете векторното произведение на векторите g + 5 g + g ; g + g g ; 1 1. Намерете лицето на триъгълник с върхове A (,,); B (,,); C (,1,).. Намерете обема на триъгълна пирамида с върхове A (,,1); B (,,5); C (6,,); D (, 7,).