Лекция 8. Производни на логаритмичната, показателната и степенната функции 8.. Производна на логаритмичната функция, у log (0 <. Heка точката х да е коe да е положително число и Δх да е достатъчно малко, така че Δх < х. Нарастването на логаритмичната функция, у log, може да се представи във вида: + log ( + log log log + ( > 0 (8. Като разделим ур. 8. на Δх 0, получаваме: log + log + / log + / (8. Въвеждаме променливата и х/δх и извършваме граничния преход Δх 0 (т.е. u : / lim lim log + 0 0 u log lim + log e u u (8.3 където е е неперовото число; вж. ур... Тка получаваме търсената формула за производната на логаритмичната функция: d(log (log log e (8.4 d l При последната стъпка използвахме факта, че l (log /(log e /(log e. Уравнение 8.4 се опростява в случай на натурален логаритъм, т.е. при а е: d(l (l ( loge e l e (8.5 d 8.. Производна на показателната функция, у (0 <. Обратната на показателната функция, у, е функцията х log. Като приложим правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: ( l (8.6 (log log e log e С други думи, диференцирането на показателната функция,, е еквивалентно на умножение на тази функция с числото l. Уравнение 8.6 се опростява когато основата на показателната функция е неперовото число е: e ( e e ( e (8.7 43
С други думи, функцията е х е равна на производната си, което е едно забележително свойство. 8.3. Производна на степенната функция, у х, при цяло положително число. В този случай, х е произволно реално число. За да преобразуваме израза за нарастването на степенната функция, у х, ще използваме формулата за развитието на нютоновия бином, вж. ур..6 и.7: ( + [ + k 0! ( k! k! ( + k ( ( k +... + ( За да намерим производната, извършваме граничния преход: ( lim 0 ] ( цяло, > 0 (8.8 В следващия подраздел, ур. 8.8 е обобщено за произволен реален показател (не непременно цяло положително чиcло,. 8.4. Производна на степенната функция, у х, при произволен реален показтел а. В този случай, х > 0. Да разгледаме функцията l l( l (8.9 Като използуваме формулите за диференциране на сложна функция, ур. 7.9, и на логаритъм, ур. 8.5, за производната на лявата страна на ур. 8.9 намираме: d(l d(l d d (8.0 d d d d Като използуваме формулите за диференциране на произведение, ур. 7.9, и на логаритъм, ур. 8.5, за производната на дясната страна на ур. 8.9 получаваме: d( l d d(l l + 0 + (8. d d d където сме отчели, че производната на константата а е равна на нула. Приравняваме десните страни на ур. 8.0 и 8.: d d С други думи, получаваме формула аналогична на ур. 8.8: (8. ( ( реално; > 0 (8.3 44
Лекция 9. Производни на тригонометричните и хиперболичните функции 9.. Производни на функциите si, cos и на обратните им функции. За функцията si вече намерихме: (si cos (9. вж. ур. 7.3. Аналогично, за функцията cos получаваме: + Δ cos( + cos si si (9. вж. формула 0 в Таблица 5.. Последното уравнение делим на Δх и извършваме граничен преход Δх 0: + lim lim si lim 0 0 т.е. получаваме: 0 si( / si / (9.3 (cos si (9.4 Да разгледаме функцията х rcsi у и обратната й функция, у si х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d rcsi d d si cos si (9.5 d Аналогично, ако разгледаме функцията х rccos у и обратната й функция, у cos х, получаваме: d rccos d d cos si cos (9.6 d Уравнения 9.5 и 9.6 могат да се представят в следния еквивалентен вид (формално заменяме у с х: (rcsi ; (rccos, (9.7 9.. Производни на функциите tg, ctg и на обратните им функции. За функцията tg прилагаме правилото за диференциране на частно, ур 7.3: si cos (si si (cos cos + si ( tg [ ] (9.8 cos cos cos cos Аналогично, за функцията сtg получаваме: cos si (cos cos (si si cos ( ctg [ ] (9.9 si si si si 45
Да разгледаме функцията х rctg у и обратната й функция, у tg х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d rctg cos d tg d + tg + (9.0 d където използвахме формула 7 от Таблица 5.. Да разгледаме функцията х rcсtg у и обратната й функция, у сtg х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d rcctg d si d ctg + ctg + (9. d където използвахме формула 8 от Таблица 5.. Уравнения 9.0 и 9. могат да се представят в следния еквивалентен вид (формално заменяме у с х: (rctg ; (rcctg (9. + + 9.3. Производни на функциите sh, ch и на обратните им функции. За функциите sh и ch ще използуваме техните дефиниции, ур. 5., както и формулата за диференциране на показателна функция, ур. 8.7: [( e ( e ] ( e + e ch (sh [( e + ( e ] ( e e sh (9.3 (ch (9.4 За функцията Аrsh ще използваме нейното логаритмично представяне, ур. 5.8: d / d (Arsh l[ + ( + ] [ + ( + / ] (9.5 / d + ( + d По нататък, като използваме правилата за диференциране на функция от функция и на степенна функция, намираме: d / / ( + [ + ( + ] + ( + ( d ( + Заместването на ур. 9.6 в ур. 9.5 дава: / / + (9.6 (Arsh (9.7 / ( + + Аналогично, за функцията Аrсh ще използваме нейното логаритмично представяне, ур. 5.: 46
d d (Arch l[ ( / ± / ± + ] [ + ( ] (9.8 / d + ( d където знакът + се отнася за положителния клон на функцията Аrсh, докато знакът се отнася за нейния отрицателен клон; вж. Фигура 5.b. По нататък, като използваме правилата за диференциране на функция от функция и на степенна функция, намираме: / d / / ( + [ + ( ] + ( ( / d ( Заместването на ур. 9.9 в ур. 9.8 дава: (9.9 (Arch ± ±, (9.0 / ( Може да се провери, че същият резултат за производните на функциите Аrsh и Аrсh се получава като се използва правилото за производна на обратна функция. За целта, да разгледаме функцията х Аrsh у и обратната й функция, у sh х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d Arsh d d sh ch + sh + (9. d Аналогично, ако разгледаме функцията х Аrch у и обратната й функция, у ch х, получаваме: d Arch ±, d d ch sh ± ch d С формална замяна на у с х, ур. 9. и 9. се превръщат, съответно, в ур. 9.7 и 9.0. (9. 9.4. Производни на функциите th, cth и на обратните им функции. За функцията th прилагаме правилото за диференциране на частно, ур 7.3: sh ch (sh sh (ch ch sh ( th [ ] (9.3 ch ch ch ch където използвахме още ур. 5.3, 9.3 и 9.4. Аналогично, за функцията сth получаваме: ch sh (ch ch (sh sh ch ( cth [ ] (9.4 sh sh sh sh Да разгледаме функцията х Arth у и обратната й функция, у th х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d Arth ch, d d th th d (9.5 47
където използвахме формула 7 от Таблица 5.. Накрая, да разгледаме функцията х Arcth у и обратната й функция, у сth х. По правилото за диференциране на обратна функция, ур. 7.6, намираме: d Arcth d sh, d cth cth d където използвахме формула 8 от Таблица 5.. (9.6 Изведените формули за производните на елементарните функции са представени в Таблица 9.. Таблица 9.. Формули за производните на елементарните функции. Производни Производни (log log e (l 3 ( log e l 4 ( e e 5 ( ( цяло, > 0 6 ( ( реално; > 0 7 (si cos 8 (sh ch 9 (cos si 0 (ch sh ( tg cos ( th ch 3 ( ctg si 4 ( cth sh 5 (rcsi, 6 (Arsh + 7 (rccos, 8 (Arch ±, 9 (rctg + 0 d Arth d, (rcctg + d Arcth, d 48