ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ

. Интерполиране с алгебрични полиноми - полином на Лагранж. Оценка на грешката. Метод на най-малките квадрати. Програмиране на методите и визуализация. Интерполационен полином на Лагранж Това е метод за приближено решаване на функции, които са зададени таблично. Дадена е функцията... y... x i y i x 0 x x y 0 y y f x със следния тип таблица: x n y n Aко xi x за i j j, съществува единствен полином от n-та степен, който приема в x i стойност y i. Този полином се нарича интерполационен полином на Лагранж и има вида: n L x y x x n j i i0 ji xi xj.

f x При x0 x... xn с Ln x и x [ x0, x n ]. процесът се нарича интерполация на При x0 x... xn f x с Ln x. и x [ x0, x n ] процесът се нарича екстраполация на Оценка на грешката: Ако f x има непрекъсната n -ва производна M R x f x L x x x x x n... n n 0 n n! p, q x0, xn при интерполация, p q x x x x, min, 0,max, n, където при екстраполация. n M n max f x [ pq, ] и Полином от първа степен: n x i x 0 x y i y 0 y x x x x L x y y 0 0 x0 x x x0

Полином от втора степен: n x i x 0 x x y i y 0 y y x x x x x x x x x x x x L x y y y 0 0 0 x0 x x0 x x x0 x x x x0 x x Полином от трета степен: n 3 x i y i x 0 x x x 3 y 0 y y y 3 x x x x x x x x x x x x L x y y 3 0 3 3 0 x0 x x0 x x0 x3 x x0 x x x x3 x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x 0 3 0 3 0 3 3 0 3 3 y 3

Задача Като се използват стойностите на f x x за стойностите на аргумента 00 и 44 да се намери приближената стойност на функцията при х= и се оцени грешката. Решение: По таблицата построяваме интерполационния полином от първа степен: L L x x44 x00 0 00 44 44 00 y 00 44 x 0 44 00 5 6 4 0 0,954545 00 44 44 00 x За да оценим грешката (точността) на получения резултат, намираме последователно: y x x y x 3 y x 4 4 x 3 4

Чертаем графиката на втората производна, за да видим къде в интервала функцията има максимум: 0.0004 0.000 0.0000 0.0008 0.0006 Mn 0 0 30 40 M max 0, 0005 [00,44] 3 3 3 4 x 4 00 4.0 R 3 00 44 3. 3 0, 060375.! 4.0 8.0 5

Решаване със система Mathematica 6

Задача Като се използват стойностите на f x x за стойностите на аргумента 4 и 6 да се намери приближената стойност на функцията при x=9 и да се оцени грешката. Решение: По таблицата 4 6 y x 3 5 построяваме интерполационния полином от първа степен: L L x x6 x4 3 5 4 6 6 4 9 6 9 4 7 5 46 9 3 5 3,83333 4 6 6 4 4 x За да оценим грешката на получения резултат, намираме последователно: y x y x 3 y x 4 4 x 3 8

Чертаем графиката на втората производна, за да видим къде в интервала функцията има максимум: 0.030 0.05 0.00 0.05 0.00 0.005 M 6 8 0 4 6 max 0, 035 [4,6] 3 3 4 x 4 4 35 R 9 3 9 49 6 3 5. 7 0,546875! 8. 64 4.4. 9

Да се намери приближената стойност на f 9 и се оцени грешката. (екстраполация) L 9 6 9 4 3 75 66 9 3 5 5,5 4 6 6 4 4 Оценяваме грешката: 0 p, q [min( x, x ),ma x ( x, x n )] 4,9 [min( 9,4 ),max( 9, 6) ] M max 0, 035 [4,9] 3 3 4 x 4 4 45 R 9 3 9 49 6 3 5. 3 0, 7035! 8. 64 4.4.

Задача 3 Като се използват стойностите на f x x за стойностите на аргумента и 3 да се намери приближената стойност при х= и да се оцени грешката. Решение: По таблицата построяваме интерполационния полином от първа степен: L L x x6 x4 3 5 4 6 6 4 3 3,3 3 3 За да оценим грешката на получения резултат, намираме последователно: ln x y y y x x y x x 3 ln 4 ln 0, 69347, 44 5

Чертаем графиката на втората производна, за да видим къде в интервала функцията има максимум: 0.30 0.5 0.0.5.0.5 3.0 ln x 3 M max ln ln ln 0,33973 [,3] 4 4 4 ln ln R 3 0,69866.! 6

Да се намери приближената стойност на f 0 и се оцени грешката. (екстраполация) L 0 3 0 3 0 0, 70707 3 3 Оценяваме грешката: 0 p, q [min( x, x ),ma x ( x, x n )] 0,3 [min( 0, ),max( 0,3) ] ln x 3 M max ln ln ln 0,33973 [0,3] 4 4 4 ln 3 ln R 0 0 0 3 0,509597.! 9

Задача 4 3 Да се табулира функцията f x x във възлите,.,.3. Като се използва интерполационен полином на Лагранж от втора степен, построен по получената таблица, да се пресметне приближената стойност в точката x.5 и да се оцени грешката. Решение: По таблицата построяваме интерполационния полином от първа степен: L,5,,5,3,5,5,3,5,038,,3,,,3,5,5,,0939 0,5,63 0,3644,04774,3,3, y,,3 3,038,0939 x x

y За да оценим грешката на получения резултат, намираме последователно: 3 x y 3x 3 0 y y 5 8 9x 3 7x 3 Чертаем графиката на третата производна, за да видим къде функцията има максимум. 0.35 0.30 0.5 0.0.05.0.5.0.5.30 Оценяваме грешката: 3

M max 0 0 0,37037 7. 7. 3 [,.3] 8 3 8 3 x 0 0 R,5,5,5,,5,3 0, 005 0, 0000694444. 3! 7 6.7 ( теоретичната грешка) Решаване със система Mathematica Табулиране на функция: 4

Задача 5 Да се табулира функцията f x x в интервала 3, със стъпка h. Като се използва интерполационен полином на Лагранж от трета степен, построен по получената таблица, да се пресметне приближената стойност в точката x 0.5 и да се оцени грешката. Решение: По таблицата y x x 3 - - 0 0,4857 0,5 0,333333 0,5 Построяваме интерполационния полином от трета степен: 7

L 3 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,4857 0, 5 0 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0 0,333333 0, 5 0 0 0 0 0,5,5 0, 5 0,4857+,50,50, 50, 5 3,5,5,5,5 0,50,333333+ 0,50, 5 0,348 3 Намираме четвъртата производна: y x y x y 8x 3 x 3 3 x 3x 3 x 3x 3 y 3 48x 4 x 4 3 4 384x 88x 4 y x 3x 3x 3 5 4 3 Чертаем графиката на четвъртата производна, за да видим къде функцията има максимум. 8

0.8 0.6 0.4 0..0.5.0 0.5 0.5.0 M Оценяваме грешката: 4 384x 88x 4 4 max [,] 5 4 3 x 3 x 3 x 3 4 384 0 88 0 4 4 0,888889 5 4 3 0 3 0 3 0 3 7 9

4 R3 0,5 0,5 0,5 0,5 00,5 4! 7 4,5,5 0,50,5 0,9375 0,347. 4.7 7 Решаване със система Mathematica Табулиране на функция: 30

Задача 6 Като се използват от дадената таблица стойностите на f(x) за стойностите на аргумента, да се намери приближената стойност на f (.5), f(.7), f(.9). Решение: a) f(,5)=? интерполация x x x x x x x x x x x x L x y y y L 0 0 0 x0 x x0 x x x0 x x x x0 x x x,4,6,8 3 y,5, 6,5,8,5, 4,5,8,5, 4,5, 6,5 3,4,6,4,8,6,4,6,8,8,4,8,6 0, 0,3 0, 0,3 0, 0, 3 3 0 3 3,5 0, 0,4 0, 0, 0,4 0, 8 4 8 8 33

б) f(,7)=? интерполация L,7,6,7,8,7,4,7,8,7,4,7,6, 7 3,4,6,4,8,6,4,6,8,8,4,8,6 0, 0, 0,3 0, 0,3 0, 3 3 3 3,5 0, 0,4 0, 0, 0,4 0, 8 4 8 8 Оценка на грешката: f x 5x 0 f 0 => теоретичната грешка е 0. б) f(,9)=? екстраполация L,9, 6,9,8,9, 4,9,8,9, 4,9, 6,9 3,4,6,4,8,6,4,6,8,8,4,8,6 0,3 0, 0,5 0, 0,5 0,3 3 5 5 4 3 3 0,5 0, 0,4 0, 0, 0,4 0, 8 4 8 8 34

Като се използва интерполационния полином на Лагранж, да се намери приближено решение на уравнението y=f(x)=,5. Извършваме обратно интерполиране: Обръщаме таблицата и взимаме втория ред за първи, а първия за втори. Така получаваме таблица от стойностите на обратната функция x=x(y). По тази таблица построяваме интерполационен полином и стойността му при y=,5 е решение на задачата. Този метод може да се използва само, ако yi yj за i j. L x 3 x y,4,6,8,5,5,5 3,5,5 3,5,5, 4, 6,8 3 3 3 3 0,5 0,5,5 0,5,5 0,5,4,6,8 y 0,5 0,75,4 0,75,6,8 0,75, 0,675,7 35

Метод на най-малките квадрати n P x a a x a x a x n 0... n полином от n-та степен на променливата x. Полиномът, чиито коефиценти a, a, a,..., n 0 a минимизират функцията N,..., [ n... n a a y a a x a x a x a x ] се нарича полином на 0 n i 0 n i n i i най-добро приближение по метода на най-малките квадрати. Коефицентите a, a, a,..., n 0 a са решение на следната линейна алгебрична система: N a x a x a... x a y N N N N n 0 i i i n i i i i i... N N N N N 3 n xi a0 xi a xi a... xi an xi yi i i i i i N N N N N n n n n n xi a0 xi a xi a... x a x y i i i i i i n i i 37

Задача Да се намерят P и P таблично зададената функция f(x): Решение: x i y i по метода на най-малките квадрати за 0 3 4 0 4 За намиране на P и намираме необходимите суми: построяваме таблицата от стойностите на x y x x y i, i, i, i i 38

Тогава, ако P x a x a, коефицентите 0 a 0 и a са решение на системата: N N N a0 xia y i i N N N xi a0 xi a xi yi i i i i Заместваме и решаваме системата: 5a 0a 8 0a 0a 6 0 0 0a 30a 0 0 6 0a 30a 0 0a 4 a 5 4 4 за a0 5a0 8 0 a0 5 5 5 P a x a 0 P 4 x 5 5 39

За намиране на полинома от втора степен P допълваме горната таблица с още три колони 3 4 xi, xi, xi y i : Тогава, ако системата: P x a x a x a, коефицентите 0 a0, a, a са решение на 40

N a x a x a y N N N 0 i i i i i i N N N N 3 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i N N N N 3 4 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i Заместваме в системата и я решаваме: 5a0 0a 30a 8 58 46 3 0a0 30a 00a 0 a0 a a 35 35 7 30a 00a 354a 70 0 P a x a x a 0 3 46 58 P x x 7 35 35 4

Задача Да се намерят P и P таблично зададената функция f(x): x i y i Решение: по метода на най-малките квадрати за - - 0 3-4 5 0 7 6 За намиране на P и P построяваме таблицата от стойностите на 3 4 xi, yi, xi, xi yi, xi, xi, xi y i и намираме необходимите суми: 43

Заместваме със сумите в системите за намиране на полином от първа и втора степен и ги решаваме. Намиране на полином от първа степен: N N N a0 xia y i i N N N xi a0 xi a xi yi i i i i 44

Решаваме системата: 6a0 3a 35 6a0 38a 70 3a 9a 35 / 6a 3a 35 0 0 35a 35 a 3 6 за a0 6a0 35 3. 3 a0 6 3 a a 0 6 3 P a x a 0 P x 6 3 Намиране на полином от втора степен: N a x a x a y N N N 0 i i i i i i N N N N 3 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i N N N N 3 4 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i 45

Решаваме системата: 6a 3a 9a 35 0 3a 9a 7a 35 0 9a 7a 5a 9 0 a 8 a a 0 P a x a x a 0 P x x 8 Задача 3 Да се намерят P и P таблично зададената функция f(x): x i y i по метода на най-малките квадрати за -3 - - 0 3 7 4-5 6 3 Решение: 46

За намиране на P и P построяваме таблицата от стойностите на 3 4 xi, yi, xi, xi yi, xi, xi, xi y i и намираме необходимите суми: Заместваме със сумите в системите за намиране на полином от първа и втора степен и ги решаваме. Намиране на полином от първа степен: 47

N N N a0 xia y i i N N N xi a0 xi a xi yi i i i Решаваме системата: 7a 0a 35 a 5 0 0 0a 8a 8 a 0 i a a0 5 P a x a 0 P x 5 Намиране на полином от втора степен: N a x a x a y N N N 0 i i i i i i N N N N 3 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i N N N N 3 4 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i 48

Решаваме системата: 7a 0a 8a 35 a 4a 5 0 0 0a 8a 0a 8 a 0 8a 0a 96a 4 0 5 4a 7a 8 3a 3 a a 5 4a a 0 0 a a a 0 a 7a 8 0 P a x a x a 0 P x x Задача 4 Да се табулира функцията f(x)=cos(πx) в интервала [-,] със стъпка h=/. Да се построят полиномите от първа и втора степен по метода на най-малките квадрати за получената таблица. 49

Решение: x i y i - -/ 0 / 0 0 За намиране на P и P построяваме таблицата от стойностите на 3 4 xi, yi, xi, xi yi, xi, xi, xi y i и намираме необходимите суми: Заместваме със сумите в системите за намиране на полином от първа и втора степен и ги решаваме. 50

Намиране на полином от първа степен: N N N a0 xia y i i N N N xi a0 xi a xi yi i i i Решаваме системата: 5a0 0a a0 5 5 0a0 a 0 a 0 i a 0 a 0 5 P a x a 0 P 5 5

Намиране на полином от втора степен: N a x a x a y N N N 0 i i i i i i N N N N 3 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i N N N N 3 4 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i Решаваме системата: 5a0 0a 5 a 3 0a 5 0 a 0a 0 a0 a 0 a 35 7 5 a 7 0 0a a 8 P a x a x a 0 P 3 x 7 35 5

Задача 5 Да се намерят P и P таблично зададената функция f(x): Решение: За намиране на P и по метода на най-малките квадрати за 3 4 5 6 y 9/0 6/5 8/5 5/ 8/5 4/5 x i i 3 4 xi, yi, xi, xi yi, xi, xi, xi y i и намираме необходимите суми: P построяваме таблицата от стойностите на 53

Заместваме със сумите в системите за намиране на полином от първа и втора степен и ги решаваме. Намиране на полином от първа степен: N N N a0 xia y i i N N N xi a0 xi a xi yi i i i Решаваме системата: 73 6a0 a 5 649 a0 9a 0 38 75 a 0 a 49 50 i P a x a 0 P 38 49 x 75 50 54

Намиране на полином от втора степен: N a x a x a y N N N 0 i i i i i i N N N N 3 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i N N N N 3 4 xi a0 xi a xi a xi yi i i i i Решаваме системата: 6a0 a 9a 73 5 a 649 0 9a 44a 0 9a 39 0 44a 75a 0 89 347 73 a0 a a 00 800 560 P a x a x a 0 73 347 89 P x x 560 800 00 55