Лекция 8. Обикновени диференциални уравнения 8.. Дефиниция и видове. Всяка функционална зависимост между независимата променлива х функцията ух и нейните производни до n-ти ред включително... n 8. се нарича обикновено диференциално уравнение ОДУ от n-ти ред. Да решим едно ОДУ означава да намерим функцията ух. Може да се докаже че решаването на ОДУ от n-ти ред е еквивалентно на n-кратно интегриране. Понеже всяко интегриране се появява по една неопределена константа общото решение на едно ОДУ от n-ти ред съдържа n неопределени константи. Последните се определят от n на брой допълнителни уравнения които се наричат гранични условия. Най-напред ще се занимаем с диференциалните уравнения от първи ред: 8. Ако ур. 8. може да се реши явно спрямо то диференциалното уравнение може да се представи във вида: 8. Само в някои случаи е възможно да се намери аналитично решение решение чрез квадратури на ОДУ от първи ред. По-долу ще разгледаме три такива случая: а уравнение с разделящи се променливи; б линейно уравнение и в уравнение с пълен диференциал. Ако ОДУ не може да се реши аналитично то винаги може да се потърси числено компютърно решение за което са разработени подходящи числени методи. 8.. Уравнение с разделящи се променливи. Уравнение от този тип имаме когато дясната страна на ур. 8. може да се представи като произведение от функция на х по функция на у: X Y В такъв случай решението на ур. 8.4 има вида: X Y 8.4 8.5 където С е неопределена интеграционна константа. Ако е зададено гранично условие ух = у то решението на ур. 8.4 може да се представи и чрез определени интеграли с променливи горни граници: Y X 8.6 И действително ако в лявата страна положим у = у а в дясната страна положим х = х уравнение 8.6 е удовлетворено то се превръща в тъждеството =. 9
Пример : При химична реакция от първи порядък АВ веществото А се превръща във веществото В като това: cb c kc 8.7 t t Тук с А и с В са концентрациите на съответните компоненти; константата k се нарича скоростна константа на химичната реакция. Уравнение 8.7 описва също радиоактивния разпад на химичния елемент А който се превръща в елемента В. Последното равенство в ур. 8.7 представлява ОДУ с разделящи се променливи за функцията с А t чието решение има вида: ln c c kt kt c 8.8 Ако представим неопределената константа във вида С = ln и антилогаритмуваме получаваме: k t t c 8.9 Ако началната концентрация на компонента А е с А = с то в ур. 8.9 можем да определим интеграционната константа С : kt c t c 8. Използва се и понятието време на полуразпад t /. По дефиниция с А t / = с /. Тази дефиниция заедно с ур. 8. дават t / = ln/k. Като илюстрация Таблица 8. показва схемата на радиоактивен разпад на елемента уран-8 8 U. Таблица 8.. Схема на радиоактивния разпад на изотопа 8 U който се описва от ур. 8.. Символите или показват дали съответният разпад е дружен с отделяне на алфа-лъчи хелиеви ядра или бета-лъчи електрони. Показано е и времето на полуразпад t / което варира от 4 секунди до 4.5 милиарда години за различните радиоактивни изотопи.
Пример. Да се реши уравнението 4. Първо решаваме това уравнение спрямо производната: 8. По-нататък пресмятаме неопределените интеграли: arcsin - ; ln 8. И така ако положим С = lnc решението добива вида: /у = sin[lnc]. 8.. Линейно уравнение. Това уравнение има вида: 8. където и са известни функции. Решението на ур. 8. се дава от формулата: 8.4 Да диференцираме ур. 8.4 за да проверим дали наистина то удовлетворява ур. 8.: 8.5 При последната стъпка използвахме изразите за у и в ур. 8.4. Пример: Да се реши уравнението. Предвид ур. 8.4 намираме: ; ; ln 8.6 8.7 8.4. Уравнение с пълен диференциал. Интегриращ множител. Да разгледаме уравнение от вида: 8.8 където и са известни функции за които е изпълнено съотношението: 8.9 Тогава ако умножим ур. 8.8 по в лявата му страна ще получим пълен диференциал нa някаква функция : 8.
Напомняме че ур. 8.9 е необходимо и достатъчно условие за това пфафовата форма да бъде пълен диференциал. Като интегрираме ур. 8. намираме общото решение на ур. 8.8 във вида: 8. където С е интеграционна константа. За да намерим функцията ще използваме уравненията: Като интегрираме първото ур. 8. получаваме: 8. 8. където сме отчели факта че интегрирането по х интеграционната константа може да зависи от у: А = Ау. После заместваме ур. 8. във второто ур. 8.: 8.4 От полученото уравнение определяме неизвестната функция Ау с което предвид ур. 8. и 8. намираме и общото решение на задачата. Пример : Да се реши уравнението В случая имаме: ;. Пресмятаме: ; 8.5 Следователно ур. 8.9 е удовлетворено и разглежданото ОДУ е с пълен диференциал. Тогава предвид ур. 8. намираме: 8.6 После заместваме ур. 8.6 във второто ур. 8.: 8.7 Уравнение 8.7 дава Ау = у 4 /4 и така предвид ур. 8. и 8.6 намираме връзката между променливите у и х във вида: 4 4 8.6 В някои случаи е възможно за общото ур. 8.8 да не е изпълнено условието за пълен диференциал ур. 8.9 но това условие да се удовлетвори след умножаване на ур. 8.8 по някаква подходяща функция ху наречена интегриращ множител.
Пример : Да се реши уравнението: За това уравнение лесно може да се провери че условието 8.9 за равенство на кръстните производни не е изпълнено. Чрез умножение на горното уравнение по получаваме еквивалентното уравнение: 8.7 За ур. 8.7 условието 8.9 е удовлетворено: ; 8.8 Тогава предвид ур. 8. намираме: 8.9 После заместваме ур. 8.9 във второто ур. 8.: 8. От ур. 8. получаваме Ау = у и така предвид ур. 8. и 8.9 намираме връзката между променливите у и х във вида: у /ху = С. От изчислителна гледна точка най удобно е да представим х като функция на у: 8. 8.5. Линейни ОДУ от втори ред общи формули. Най-напред нека да разгледаме хомогенното уравнение за което свободният член е равен на нула: 8. Тук и са две известни функции. Tърси се неизвестната функция ух. В общия случай се доказва че общото решение на диференциалното уравнение 8. има вида: B 8. където и В са две неопределени интеграционни константи а х и х са две частни линейно независими решения т.е. две решения на ур. 8. за които е различна от нула детерминантата на Вронски по името на полския математик Józ roński 776 85: 8.4
4 Нехомогенното линейно ОДУ от втори ред има вида: 8.5 където е известна функция. Може да се докаже че общото решение на нехомогенното уравнение ур. 8.5 представлява сума от общото решение на хомогенното уравнение и от едно частно решение на нехомогенното уравнение у n : n B 8.6 И действително лесно може да се провери че ако у n е едно решение на ур. 8.5 то ур. 8.6 също е решение на ур. 8.5. Нещо повече ако двете решения на хомогенното уравнение х и х са известни то едно частно решение на нехомогенното уравнение може да се намери по формулата: n 8.7 Проверка: Като използваме ур. 8.7 пресмятаме производните на у n : n 8.8 n 8.9 При последната стъпка използвахме ур. 8.4. Заместването на ур. 8.7 8.8 и 8.9 в лявата срана на ур. 8.5 дава: ] [ ] [ n n n 8.4 С други думи у n удовлетворява ур. 8.5. При последната стъпка отчетохме факта че х и х са решения на хомогенното уравнение и затова изразите в средните скоби в ур. 8.4 са равни на нула. 8.6. Хомогенни линейни уравнения с постоянни коефициенти Да разгледаме уравнението b a 8.4 където а и b са константи. Ще докажем че общото решение на това хомогенно уравнение има вида: sin cos a b B a b B b a k B a a a k k 8.4 където А и В са интеграционни константи.
Tърсим решението на ур. 8.4 във вида = : a b 8.4 Така получаваме квадратно уравнение за чиито два корена са: a a b 8.44 Случай k а b >. В този случай имаме два реални корена = а k k > по дефиниция на които съответствуват две независими решения: ak ak 8.45 Тогава предвид ур. 8. получаваме първото от ур. 8.4. То може да се представи в две еквивалентни форми: k k a a B c k Ds k 8.46 където сме отчели тъждеството: k c k s k; k c k s k 8.47 Връзките между константите са: = + B и D = B. Ако k а < и х = t е времето то ур. 8.46 описва експоненциално затихващ процес релаксация който е характерен за системи с отрицателна обратна връзка или дисипация на енергията триене. Ако k а > ур. 8.46 описва експоненциално нарастващ процес който е характерен за системи с положителна обратна връзка верижна реакция взрив. Случай b а >. В този случай имаме два комплексно-спрегнати корена = а i на които съответствуват две независими решения: ai ai 8.48 Тогава предвид ур. 8. получаваме второто от ур. 8.4 което може да се представи в следните две еквивалентни форми: i i a D cos Bsin Тук използвахме формулите на Ойлер: i cos i sin; i a cos i sin 8.49 8.5 В ур. 8.49 А = + D и B = i D са константи. Ако а > и х = t е времето то ур. 8.49 описва затихващи осцилации наблюдавани намер махало с триене. a Валидността на израза B като общо решение b = a може да се докаже с пряко заместване на на този израз в ур. 8.4. В този случай двете независими решения са = a и = е ах ; за тях = a т.е. те са наистина независими. Частен случай: Уравнението b 8.5 е частен случай на ур. 8.4 а =. Съответно общото решение се дава от ур. 8.4 а = : 5
cos Bsin ck Bsk B b b k b 8.5 където А и В интеграционни са константи. Пример: Да се намери законът за движение на тяло с маса m по оста х под действието на потенциална сила съответствуваща на потенциална енергия: а U Шателие Браун; б U парабола с минимум отрицателна обратна връзка; нцип на льо парабола с максимум положителна обратна връзка. Законът на Нютон за въпросното тяло има вида: U a m където 8.5 t б където хt представлява законът за движение. Така за двата разлеждани случая получаваме съответно уравненията: където 8.54-а t m k където k 8.54-б t m Предвид ур. 8.5 решенията на ур. 8.54а и 8.54б имат вида: t cost Bsint 8.55-а t ckt Bskt 8.55-б В частност ур. 8.55-а изразява закона за движение на т.нар. хармоничен осцилатор. Константите А и В се определят от началните условия т.е. граничните условия по отношение на времето. Намер нека в началния момент t = тялото да е в покой в точка с координата х т.е.: ; 8.57 t t Така намираме А = х В = и ур. 8.55 добиват вида: t cost 8.58-а t ckt 8.58-б Ур. 8.58-а описва органичено финитно движение х х х докато според закона за движение зададен от ур. 8.58-б с течение на времето тялото ще отива все по-далече и ще се ускорява все повече инфинитно движение. 6