Семинар 5: Обикновени диференциални уравнения (ОДУ)

Семинар 5 Обикновени диференциални уравнения Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи: dy dy =X)Yy) =X) + C Yy) Ако е зададено гранично условие, то намираме частно решение (ЧР): y ) =y dy = X) Yy) Задача 1. Решете уравненията: yy а) +e = 0 ; y1) =0 б) y +cos +y) =cos y) ; y0) =π/4 в) y 1) + dy = 0 ; y1) =1 y +) Решение: a) y dy = e ydy e = ye dy ye dy = y e ) dy = ye ) dy = = yde =ye e dy = = ye 0)e ) + e d y) =ye e =ye + e e ) =e y+1) 1 = = 1 = 1 ye dy = e y+1) 1= 1 ЧР:e y+1) = +1 e y+1) = +1 e y )y +1) +e y = e yy e y +e y = y = y e yy +e =? 0 y y e +e = e +e =0 Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала:,, y 1, 1 35

б) y +cos +y) =cos y) ; y0) =π/4 dy =cos y) cos +y) = = cos cos y + sin sin y cos cos y sin sin y) = cos cos y + sin sin y cos cos y + sin sin y dy = sin sin y dy = sin / sin y 1 ln tan y / = cos ) 1 ln tan y lntanπ = cos cos 0) 4 ln tan y ln1= 4cos 1) ЧР: ln tan y =4 4cos ЧР: tan y = e ЧР: y = arctan e y = arctan e y = 1 1+e ) e 4) sin) y 4sine = 1+e 4sine 1+e =? e sin sin y 1+e =? sin y e =u u =? sinarctanu) 1+u 36

arctan u = v tan v = u sin v sinv) =sinvcosv= cos v cos v cos v = tan v cos v=ucos v cos cos v v= sin v+cos v = cos v 1 = cos v sin v cos v +1 1+tan v = 1 1+u sinarctanu) = u 1+u Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала: 4π, 4π, y 0, в) dy y +) = y 1) y 1) + dy = 0 ; y1) =1 y +) y 1 + dy = 1 y y y 1 y y dy = + dy + y y y dy = + ln y y = +ln ln y ln1 y 1) = 1+ln ln1) dy = + ЧР: ln y y=+ln ; ln y y=ln + ln y y=+ln ) 37

1 y y y =1+ 1 y y y = + 1 y y dy = + Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала: 4,, y 0, 1 Задачи за домашно: 1) y =e +e ; y0) =0 ) y =sinh +y) +sinh y) 3) y +1) + y +1) dy=0 ; y0) =1 4) tan tan y cos dy = y cos 5) y +1) =y y +1=0 6) y =ln ; 1) = Обикновено диференциално линейно уравнение от I-ви ред: f) и g) известни функции. Решението се дава с формулата: y=e C + g)e, F f) y +f)y =g) Задача. Решете уравненията: а) y y= cos б) 1 + )y +y=arctan в) y y ln =ln ; ye) =e / Решение: a) 38

y y= cos y y =cos f) = 1 ; g) =cos F=f) = 1 = ln = ln =ln 1 y) =e ) C+cose =e C + cos 1 =C+cos ОР: y) =C +sin) y ) = C +sin) =C+sin+cos y y=? cos C +sin+cos) C +sin) =? cos C + sin + cos C sin = cos Полученото общо решение (ОР) ще илюстрираме с едно частно решение, получено за допълнителното условие yπ) =0, за което ЧР има вида: y) =sin и което е изобразено на графиката в интервала: 4, 4, y 3, 3 б) 1 + )y +y=arctan 39

y + 1 y=arctan 1+ 1+ f) = 1 arctan ; g) = 1+ 1+ F= 1 = arctan 1+ y) =e arctan C + 1+ e = y) =e C + arctan e 1+ = =e C + te dt = =e C + t de = =e C + te e dt = =e C+te e ) = =e C + e t 1) = =e C + e arctan 1) = y) =Ce +arctan 1 ОР: y) =Ce +arctan 1 При намирането на общото решение(ор) на ОДУ-е извършихме следната субституция: t = arctan dt = d arctan = arctan ) = 1+ y ) = Ce +arctan 1 1 = C 1+ e + 1 1+ 1 + )y +y=? arctan 1 + 1 ) 1+ C 1 1+ e +Ce +arctan 1=? arctan 1 Ce +Ce + arctan 1 = arctan Полученото общо решение ще илюстрираме с едно частно решение, получено за допълнителното условие y0) = 1, за което ЧР има вида: y) =arctan 1 и което е изобразено на графиката в интервала: π, π, y π/ 1, π/ 1 40

y 0.5 6 4 4 6 0.5 1.0 1.5.0 в).5 y y ln =ln ; ye) =e / f) = 1 ; g) =ln ln F=f) = ln = dln = ln ln ln y) =e ) C + ln e = =e 1 C + ln = e =lnc+ln 1 ln = =lnc+= y) = lnc + Намиране на ЧР след прилагане на допълнителното условие ye) =e / y) = lnc + e =lnec+e C = 0 ЧР: y) = ln Доказването на тъждеството може да се извърши както с ОР, така и с кое да е ЧР и тъй като намереното ЧР е по-просто ще използваме него за доказателството: y) = ln y ) = ln =ln+ = ln+1) 41

y y ln =? ln ln+ ln ln =? ln ln+ =ln Полученото частно решение (ЧР), намерено за допълнителното условие ye) =e /, е изобразено на графиката в интервала: 0,, y 1, 1 Задачи за домашно: 1) y +y=e ) sin y ycos=1 ; yπ/) =0 3) y +ycos= 1 sin 4) y 1 +y=arcsin ; y0) =0 Обикновено диференциално уравнение с пълен диференциал: h, y)y +g, y) =0 или h, y) dy + g, y) = 0 проверка: h = g y,т.е. F y = F y df h, y) dy + g, y) = 0 F, y) =C е общото решение, където F, y) = + y dy Общо решение ОР): F, y) =g, y) + Ay) =C или F, y) =h, y) dy + A) =C Определяме: Ay): y = da g, y) + =h, y) ; A): y dy = da h, y) dy + =g, y) 4

Задача 3. Решете уравненията: а) y +e sin y) + +e cos y) dy = 0 б) y +lny) + y ++1dy=0 в) +y +y) + y + + e ) dy=0 ; y0) =0 Решение: а) y +e sin y) + +e cos y) dy = 0 y =h, y) =+e cos y =g, y) =y+e sin y F y = h = +e cos y) =1+e cos y F y = g y = y y+e sin y) =1+e cos y F, y) =y +e sin y) + Ay) =y+e sin y + Ay) ОР: F, y) =y+e sin y + Ay) Ay): y =h, y) y y + e sin y) + da dy =+e cos y +e cos y + da dy =+e cos y da =0 dy A=const ОР: F, y) =y+e sin y = C Доказателството, че намереното общо решение удовлетворява даденото ДУ-е включва намирането на частните производни на F, y), които трябва да са тъждествено равни на изразите в условието на задачата: y =h, y) y = y y + e sin y) =+e cos y =g, y) = y + e sin y) =y+e sin y Полученото общо решение ще илюстрираме с две частни решения, получени за допълнителните условия yπ/) =0 и y0) =π/, за които ЧР-я имат вида: F, y) =y+e sin y = 0 и F, y) =y+e sin y = 1 и които са изобразени на графиките в интервала: 10, 10, y 10, 10 43

б) y +lny) + y ++1dy=0 =h, y) = y y ++1 F y = h = y ++1=/y+1 =g, y) =y+lny F y = g y = y+lny) =1+/y y F, y) =y +lny) + Ay) =y+ ln y + Ay) ОР: F, y) =y+ ln y + Ay) Ay): y =h, y) y da y + ln y + dy = y ++1 + y + da dy = y ++1 da =1 da=dy A=y dy ОР: F, y) =y+ ln y + y = C Доказателството, че намереното общо решение удовлетворява даденото ДУ-е включва намирането на частните производни на F, y), които трябва да са тъждествено равни на изразите в условието на задачата: y =h, y) y = y =g, y) = 44 y + ln y + y = y ++1 y + ln y + y = y + ln y

Полученото общо решение ще илюстрираме с две частни решения, получени за допълнителните условия y4) =16 и y0) =e, за които ЧР-я имат вида: F, y) =y1 +) + ln y = 68 + 18 ln 4 и F, y) =y1 +) + ln y = e и които са изобразени на графиките в интервала: 0, 0, y 0, 0 в) +y +y) + y + + e ) dy=0 ; y0) =0 =h, y) =y++e y =g, y) = +y +y F y = h = y + + e ) =y+1 F y = g y = y +y +y) =y+1 F, y) = +y +y) + Ay) = 3 +y +y+ay) ОР: F, y) = 3 +y +y+ay) Ay): y =h, y) y 3 +y +y+ da dy =y++e y + + da dy =y++e ОР: F, y) = 3 +y +y+e =C da dy =e da = e dy A = e Определяне на частното решение (ЧР), за даденото допълнително условие y0) =0 F0,0) = 0 3 +0 0) + 0)0) +e =1 C=1 45

ЧР: F, y) = 3 +y +y+e =1 Доказателството, че намереното общо решение удовлетворява даденото ДУ-е включва намирането на частните производни на F, y), които трябва да са тъждествено равни на изразите в условието на задачата: y =h, y) y = y 3 +y +y+e =y++e =g, y) = 3 +y +y+e = +y +y Полученото общо решение ще илюстрираме с две частни решения, получени за допълнителните условия y0) =0 и y e) = e, където второто ЧР има вида: F, y) = +y +y+e =e 4e /3 + e и които са изобразени на графиките в интервала: 0, 0, y 0, 0 Задачи за домашно: а) y + sin y) + 0.5 +cosy) dy = 0 б) ye +lny+e + dy = 0 ; y0) =1 y в) ln y 5y sin 5) + + y cos 5 dy = 0 ; y0) =e y 46

Еднородни обикновени диференциални уравнения: P, y) + Q, y) dy = 0 Решаваме с полагане: y =fy/) y = t Задача 4. Решете уравненията: а) +y) + y dy = 0 б) y =y/+siny/; y1) =π/ в) y =e / +y; y1) =0 Решение: а) +y) + y dy = 0 +y+yy =0 +y= yy y = +y y y +y) = y y = +y y Полагаме:y=t dy=dt) = t + dt y = dy = t+dt =t+ dt y = +y y dt = t 1+t t t+ dt = +t t dt = t +t+1 t = t dt ln = t+1 1dt + C t +1) t +1) dt +t) = t 1 t = t dt t +1) ln = t+1 dt + 1) dt dt + C ln = t +1) t +1) t+1 dt t +1) +C dt +1) ln = t+1 ln +ln y +1+ 1 y/ + 1 ОР: ln +y + +1) 1 +dt +C ln = ln t +1 t +1) t+1 +C +y =C y+ =C ln + y+ =C ln +y + +y =C 1+y ) +y) +y) + +y y +y) =0 1+y +y 1 +y ) + +y +y) =0 y +yy ++y+y y +y) =0 47

yy +y + +y) +y) =0 y = +y y Полученото общо решение (ОР) може да се илюстрира с едно частно решение, получено за допълнителното условие y) = 1, за което ЧР има вида: ln +y + изобразено на графиката в интервала: 3, 3, y 3, 3 =1 и което е б) y =y/+siny/; y1) =π/ Полагаме:y=t dy=dt) =t+dt y = dy = t+dt =t+ dt t+ dt =t+sint dt =sint dt sin t = dt sin t = 48

ln tan t =ln +C ОР: ln tan y =ln +C tan y =e =e e =e =C ОР: y =arctanc ОР: y = arctan C ЧР: y1) =π/ tan y =C tan π/ 1) =tanπ 4 =C 1) C =1 ЧР: y = arctan y = arctan y = arctan + 1+ arctan+ arctan arctan =? +sin 1+ arctan+ 1+ =? arctan+sinarctan) arctan = y tan y = sin y siny) =sinycosy= cos y= cos y sin y+cos y = =? sinarctan) 1+ cos y cos y cos y = tan y cos y=cos y cos y cos y sin y cos y +1 = sinarctan) = 1+ 1 1+tan y = 1 1+ Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала:,, y 0,.0 y 1.5 1.0 0.5 0.0 1 0 1 49

в) y =e / +y; y1) =0 y =e / +y/ Полагаме: y = t t = y/ dy = dt) =t+dt dy =t +dt y = dy =t+dt y =e / +y/ t+ dt =e +t dt =e e dt = e dt = e =ln +C ОР: e / =C+ln ЧР: y =1) =0 e / =C+ln1 C= 1 ЧР: e / =1 ln e / =1 ln e / =1 ln e / y y = 1 e / y y y y =1 =e / y y =e/ y = y +e/ y =? e / +y y +e/ =? e / +y Полученото частно решение (ЧР) може да се изобрази на графика в интервала: 0, 3, y 1, 3 y 3 1 0.5 1.0 1.5.0.5 1 50

Задачи за домашно: 1) y siny/) +=ysiny/) ) y y=tany/) ; y1) =π/ 3) +6 y +y ) + 4y +y ) dy = 0 ; y1) =0 Обикновени диференциални уравнения, които се свеждат до еднородни: y =f a +b y+c 1) a b a b 0 = u+α ; y = v+β ; v =tu a +b y+c ) a b a b =0 a +b y=t Определяне на константите α и β по правилото на Крамер: a α+b β+c =0 a α+b β= c a α+b β+c =0 a α+b β= c A = a b ; b = c b c b Δ=detA = a ; Δ a b = c b ; Δ c b = a c a c Δ=a b a b ; Δ =b c b c ; Δ =c a c a a α= Δ Δ = b c b c a b a b ; β = Δ Δ = c a c a a b a b Задача 5. Решете уравненията: а) + y + 1) + +y 1) dy = 0 б) +y+) + + y 1) dy = 0 Решение: а) + y + 1) + +y 1) dy = 0 + y + 1) + +y 1) dy = 0 + y + 1) + +y 1) dy =0 +y 1) dy dy = +y+1) y = +y+1 +y 1 a = ; b =1 ; c =1 a =1 ; b = ; c = 1 Δ= a b = 1 =)) 1)1) =3 0 избираме вариант 1. a b 1 Определяме константите α и β: Δ = c b 1 1 = c b 1) = 1)) 1)1) = 1= 3 α=δ Δ = 3 3 = 1 Δ = a c a c = 1 1 1) =)1) 1)1) =+1=3 β=δ Δ = 3 3 =1 51

Полагаме: =u 1 ; y=v+1. = du 1) =du ; dy=dv +1) =dv dv 1) +v+1+1 = u du u 1+v +1) 1 = u +v+ + v = u u +v+ u+v Полагаме: v =tu. dv = dtu) = t du + u dt ; t+u dt + tu u +t) +t = u = = du u+tu u1 +t) 1+t dv du =t+udt du u dt +t ++t = t du 1+t = t+t = t +t+ = t +t+1 1+t 1+t t + 1 u dt du = t +t+1 t + 1 t + 1 du t dt = +t+1 u dv + v = u du u+v ОДУ с раделящи променливи. t + 1 du t dt = +t+1 u dt +t+1) = t +t+1) = t + 1) dt t + 1 t +t+1 dt = dt +t+1) t +t+1 =ln t +t+1 +C ln t +t+1 = ln u +C ln t +t+1 = lnu +C ln t +t+1 +lnu =C u t +t+1) =C =e Представяне на ОР чрез първоначалните променливи y и : v = tu t = v/u u v /u +v/u+1) =v +vu+u =C = u 1 ; y = v + 1 u = + 1 ; v = y 1 y 1) + y 1) +1) + +1) =C y y+1+y+y 1+ ++1=C +y+y + y+1=c ОР: +y+y + y=c +y+y + y=c +y+y + y=c +y+y +yy +1 y =0 + y + 1) + +y 1)y =0 Полученото общо решение (ОР) може да се илюстрира с едно частно решение, получено за допълнителното условие y0) =1/, за което ЧР има вида: 5

+y+y + y+1= 1/4 и което е изобразено на графиката в интервала:, 0, y 0, : y.0 1.5 1.0 0.5.0 1.5 1.0 0.5 б) +y+) + + y 1) dy = 0 +y+) + + y 1) dy = 0 +y+) + + y 1) dy =0 + y 1) dy dy = +y+) y = +y+ + y 1 a =1 ; b =1 ; c = a = ; b = ; c = 1 53

b Δ= a = 1 =1)) 1)) = 0 избираме вариант. a b 1 Полагаме: a +b y=t,т.е.+y=t y=t dy=dt ) =dt dy = dt 1 y = +y+ dt t+ 1= + y 1 t 1 dt t+ =1 t 1 = t 1 t = t 3 t 1 t 1 dt = t 3 t 1 dt = ОДУ с раделящи променливи t 1 t 3 t 1 dt = t 3 t 1 t 3 t 6+6 1 dt = dt = t 3 t 3) 5 = dt + t 3 t 3 =dt+5 dt 3) t 3 t 3) +5 dt = t 3 dt = t 3 t 3 =t+5ln t 3 +C dt + 5 dt t 3 = t + 5 ln t 3 =+C,но +y=t +y) +5ln +y 3 =C ОР: + y + 5 ln +y 3 =C +y+5ln +y 3 =C +y+5ln +y 3 =C 1+y 1 +5 +y 3 1+y ) =0 +y 3+y +y 3) +51 +y ) =0 +y 3+5) +y + y 6 + 5) =0 +y+) + + y 1)y =0 Полученото общо решение (ОР) може да се илюстрира с едно частно решение, получено за допълнителното условие y4) =0, за което ЧР има вида: +y+5ln +y 3 =4 и което е изобразено на графиката в интервала: 5, 5, y 5, 5: 54

y 4 4 4 4 Задачи за домашно: 1) +y) dy + 3 + 3y 1) =0 ; y0) = ) y+3) dy + +y 1) = 0 3) y+4) dy + +y ) = 0 55

КОМАНДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ОДУ В ПРОГРАМАТА МАТЕМАТИКА Задача 1. Решете уравненията: а) yy +e = 0 ; y1) =0 (* Изтриване на имена и дефиниции от потребителското пространство *) a; Remove["Global`*"]; (* Задаване на ДУ-е като тъждество *) ode = y[]/ y'[] + Ep[y[]] == 0; (* Намиране на общо решение (ОР) на ДУ-е *) DSolve[ode, y[], ] (* Задаване на допълнително условие на ДУ-е *) ic = y[1] == 0; (* Намиране на частно решение (ЧР) на ДУ-е *) DSolve[{ode, ic}, y[], ] (* Изрисуване на ЧР в граници [-,] *) Plot[y[] /. %, {, -, }, PlotRange -> {-1, 1}, AspectRatio -> 1/, AesLabel -> {, y[]}, AesOrigin -> {0, 0}, ImageSize -> Full] 56

б) y +cos +y) =cos y) ; y0) =π/4 (* Изтриване на имена и дефиниции от потребителското пространство *) a; Remove["Global`*"]; (* Задаване на ДУ-е като тъждество *) ode = y'[] + Cos[ + y[]] == Cos[ - y[]]; (* Намиране на общо решение (ОР) на ДУ-е *) DSolve[ode, y[], ] (* Задаване на допълнително условие на ДУ-е *) ic = y[0] == Pi/4; (* Намиране на частно решение (ЧР) на ДУ-е *) DSolve[{ode, ic}, y[], ]; (* Проверка дали полученото решение удовлетворява ОДУ-е *) y[_] = y[] /. %[[1]] ode ode // FullSimplify (* Изрисуване на ЧР в граници [-4π,4π] *) ys[_] = y[]; Clear[y, ]; Plot[ys[], {, -4π,4π}, PlotRange -> {0, }, AspectRatio -> 1/, AesLabel -> {, y[]}, AesOrigin -> {0, 0}, ImageSize -> Full] 57

в) y 1) + dy = 0 y +) ; y1) =1 (* Изтриване на имена и дефиниции от потребителското пространство *) a; Remove["Global`*"]; (* Задаване на ДУ-е като тъждество *) ode = 1/( (y[] - 1)) + y'[]/(y[] ( + )) == 0; (* Намиране на общо решение (ОР) на ДУ-е *) DSolve[ode, y[], ] (* Задаване на допълнително условие на ДУ-е *) ic = y[1] == 1; (* Намиране на частно решение (ЧР) на ДУ-е *) DSolve[{ode, ic}, y[], ]; (* Проверка дали полученото решение удовлетворява ОДУ-е *) y[_] = y[] /. %[[1]] ode ode // FullSimplify (* Изрисуване на ЧР в граници [-4,] *) ys[_] = y[]; Clear[y, ]; Plot[ys[], {, -4, }, PlotRange -> {0, 1}, AesLabel -> {, y[]}, AesOrigin -> {0, 0}, ImageSize -> Full] (* ContourPlot[Log[Abs[y]]-y==+Log[^]-,{,-4,},{y,0,1}] *) 58