Комплексни числа Алгебричен вид: c i, където Тригонометричен вид: c r cos i sin Показателна форма: c i re i е имагинерната единица. В полярни координати: r cos, r sin Модул на комплексно число: r c Аргумент на комплексно число: rg c tg rctg Комплексно спрегнато на числото c i е c i i Уравнение на Oйлер е cos isin Формула на Моавър n i n c re r n cos n i sin n Намиране на n-ти корен n n k k c r i re r e k n n n k / i i n / n n cos sin ;,,..., Тригонометрични и хиперболични функции на комплексна променлива cos z e e z e e i iz iz iz iz sin cosh z e e z e e z z z z sinh Диференциране на функция на комплексна променлива,, w f z u y iv y u u y v y v df u v u u v u v v f 'z i i i i dz y y y y
Вектори в тримерното пространство а g g g g g g Скаларно произведение на два вектора. g. g cos i i j j i j ij i i Векторно произведение на два вектора c c g g g g g g g g g Смесено произведение c.c c c c c c c c c c Връзка между символите на Кронекер и Леви-Чивита ijkipq = jpkq - jqkp Тензор от втори ранг T gig jt ij Собствени стойности и собствени вектори Tr r Оператор на Хамилтън g i i g g g dy dz Параметризация на крива dl dp dp dp Параметризация на повърхност (в декартови координати) / dp z z ds ds. ds dy dy y Теорема на Гаус Остроградски За пространствена област, оградена от повърхност, и векторно поле A(r), което е дефинирано в тази област: d diva ( r) ds A( r), където ds n ds
Формула на Стокс d A d T ds A, ds T, d A d T ds A, ds T, F. dr n. F d F=F ( y, z) i + Fy ( y, z) j + Fz ( y, z) k Преминаване от декартова КС в криволинейна КС C d A d T ds A, dst, r i yj zk - радиус-вектор в декартовата КС; g k r u k y y z z Метричен тензор gik gi. gk u u u u u u i k i k i k Ортогонални криволинейни координати g ik gii; i k ; i k Параметри на Ламе h k g kk Физичен базис g g g kk h k k k ek Елементарна дължина, площ и обем dl h du dl gijduidu j ; dk dlidl j hi hjduidu j ; d dldldl hh hdududu k k k Градиент, ротация, дивергенция и лапласиан h k e k ; u k A hh A hh A hh. A h h h u u u h e h e h e A h h h u u u h Aˆ h Aˆ h Aˆ hh hh hh hh h u h u u h u u h u
Обикновени диференциални уравнения с разделящи се променливи d y X ( ) Y( d y ( )d X C Y( Еднородни диференциални уравнения P y Q ydy ; ' Уравнения, които се свеждат до еднородни y y c f y c c c c ) u ; y v ) y t c Уравнение с пълен диференциал I случай: h g y общо решение във вида: h ( y g( df h( dy g( F( C F da F( g( A( g( h( y y dy II случай: h g y y f y y t y h( y y g( Решаване чрез намиране на интегриращ множител: ) Ако ) Ако ) Ако 4) Ако g h y y g g y y h h yy g y yy g y y h y y h y g y g y зависи само от х, то (х,у)=(х). зависи само от y, то (х,у)=(. y h y y h y Линейно уравнение y f ( ) y g( ) зависи от произведението ху, то (х,у)=(ху). зависи от отношението у/х, то (х,у)=(у/х). F F, Хомогенни линейни уравнения с постоянни коефициенти Характеристично уравнение: y e C g( ) e d, F f ( ) ( n) ( n) y y n y... n n k k... n Решението на диференциалното уравнение се дава като сбор на следните събираеми: - за всеки еднократен корен на характеристичното уравнение: Ce 4
m - ако коренът е m-кратен:... m C C C e i - ако коренът е комплексен, то се използва формулата на Ойлер: е cos isin Нехомогенни линейни уравнения с постоянни коефициенти y" y ' y f ( ) y C y C y u, т.е. решението е сума от решението на хомогенното уравнение и едно частно решение, u(), на нехомогенното. Метод на неопределените коефициенти за определяне на частно решение Ако cos f e Pn Qm sin, са константи, а Pn и Qm са полиноми от n и m степен, тогава частното решение на ДУ се търси във вида: където r е кратността на корена r cos u e Pl Ql sin i на характеристичното уравнение (ако на характеристичното уравнениее r = ); l приема по-голямата стойност от n и m и P A A... A ; Q B B... B l l l l l l l l Метод на Лагранж за определяне на частно решение y f y f u y y W y y W y, y W y, y y y, W се нарича детерминантна на Вронски., y ' y ' Уравнение на Ойлер n ( n) n ( n ) y y... n y f t e ; t ln Метод на разделяне на променливите (метод на Фурие) u u u u A t C D t E f f t u t t, X T t u t Ред на Фурие f f m m,, m cos msin m f cos m; m,,,... m f sin m; m,,... m i не е корен 5
m m f l, l f m cos msin m l l l m m f cos ; m,,,... l l l l m m f sin ; m,,... l l l Интегрално преобразувание на Лаплас st F s L f t f t e dt Критерий за съществуването на Лапласов образ: Ако lim t f t e t c то съществува преобразувание на Лаплас при > а Линейност, - константи Първа производна, ако f съществува за всяко t > n-та производна, ако f (n) съществува за всяко t > Оригинал Образ f t f t F s F s f 't sf s f n n ( n) s F f t s s f n ( n) s f '... f t F 4 Интеграл f d s 5 Изменение на мащаба f t; 6 Ако f t ; t f t ; s s F s e F s t 7 Отместване e f t F s 8 Конволюция F s L f t ; F s L f t 9 Производна на образа t F s F s f f f f t d tf t n n t f t F ( n) F 's s 6
7
Квадратно уравнение + + c = = ( )( ), = ± 4c Правила за степенуване n. m = n+m n : m = n = n m m (. ) m = m. m ( )m = m m ( m ) n = m.n Правила при коренуване n k = k n =. за и = за и > Свойства на логаритмите = log = >,, > log = log = >,, за всяко log c = log + log c >,, >, c > log c = log log c >,, >, c > log m = m log >,, >, за всяко m log m = m log >,, >,, m log c = log c log log. log c = log c >,, >,, c > log = log >,, >, 8
Тригонометрични функции sin α = c cos α = c sin β = c cos β = c sin 9 = c c = cos 9 = C. 9 tn α tg α = sin α cos α = tg β = sin β cos β = A α c β B cot α cotg α tg α = cotg β = tg β = φ (градуси) φ (радиани) 45 6 9 8 7 sin φ cos φ tg φ π 6 π 4 cotg φ ± π π π π ± ± ± Основни свойства на тригонометричните функции cos α sin α cos( α) = cos(α) sin( α) = sin(α) cos(9 ± α) = sin α sin(9 ± α) = cos α cos(8 ± α) = cos α sin(8 ± α) = sin α cos(6 + α) = cos α sin(6 + α) = sin α tg α tg( α) = tg(α) tg(9 ± α) = cotg(α) tg(8 ± α) = ±tg(α) cotg α cotg( α) = cotg(α) cotg(9 ± α) = tg(α) cotg(8 ± α) = ±cotg(α) Хиперболични функции sinh = e e cosh = e + e tnh = sinh cosh coth = cosh sinh 9
Основни тригонометрични и хиперболични формули sin sin cos cos sin sinh sinh cosh cosh sinh cos cos cos sin sin cosh cosh cosh sinh sinh sin cos cosh sinh cos sin sin sin cos cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin Правила за диференциране d C. d u d C u C const C C const d u g d u d g g d u. g d u d g g u u d d u d g g g u Диференциране на сложна функция Ако y f u и u u dy dy du du Развитие на функция в ред на Тейлър f ( ) f f f f f ( n) n () ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )... n n!!!
Формули за производните на елементарните функции d(log ) log ln ; e d(ln ) d( ) ln log ; e 4 de ( ) e 5 7 9 n d( ) n n ( n цяло, n ) 6 d(sin ) cos 8 d(cos ) sin d( ) ( реално; ) d(sh ) ch d(ch ) sh d(tg ) cos d(th ) ch d(ctg ) sin d(cth ) sh d(rcsin ) 5, d(rsh ) 6 d(rccos ) 7, d(rch ) 8, 9 d(rctg ) drth, d(rcctg ) drcth,
Дефиниция Нека са дадени две функции и, дефинирани в интервала. Казваме, че функцията се нарича примитивна (първообраз) на, ако е изпълнено F df тъждеството Свойства. f F f f за всяко и тогава са в сила следните свойства: d f F df F C d f f f f f f C. f f F C, λ число.. 4. Решаване на интеграли чрез смяна на променливите t f f t d t f t ' t dt ) u f f u du ) ' Интегриране по части f ( ) g( ) f ( )dg( ) f ( ) g( ) g( )df ( ) C f ( ) g( ) g( ) f ( ) C Интегриране на рационални дроби чрез разлагане на прости дроби А A ln C а Основни свойства на определените интеграли А A а m m m C ) f f ) f c ) c f f f Формула на Нютон-Лайбниц 4) f f f f 5) C f C f ; ' f F F f F Интегриране по части u dv uv v du u v u v v du
Интеграли Интеграли d C d ln C d C ln 4 e d e C n 5 n C ( n цяло, n ) n 6 C ( реално; ) 7 cos sin C 8 cosh sinh C 9 sin cos C sinh cosh C tg C tgh cos C cosh cotg C sin 4 cotgh C sinh 5 ln tn C cos 4 sin ln tn 7 rcsin C rccos C rcsin C rccos C, 8 rsinh ln[ ] rsinh C ln C, 9 rctg C rcctg C rctn C rccot C rcosh ln[ ] C C rcosh C ln C, rcth C ln C, rcth C ln C, rth C ln C, rth C ln C,